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시험을 위한 노하우 2017-03-28T12:26:43+00:00

기적은 그것을 믿을 때에만 일어난다 ( 2012 )

작성자
강필
작성일
2021-01-07 12:20
조회
176
 

( 글의 내용은 6월 모의평가 '이후'에 필요한 마음가짐에 대한 것인데, 어떤 시점에서도 유용하다고 생각하고 원문은 그대로 두었습니다.   가능성을 이야기하는 소재로 지금 시점에서는 적절하지 않은 '원리합계' 등을 예로 들었는데, 이것도 글을 이해하는데 큰 문제는 없으므로 그냥 놓아둡니다. )

 

통계적 확률과 수학적 확률의 관계는 고등학교 과정에서는 정확하게 다루지는 않는 주제 중의 하나입니다. 교과서의 학습목표에 명확하게 명시되어 있긴 하나, 내용적으로는 `큰수의 법칙`이라는 이름으로 간략하게 소개된 정도에 그치고 있습니다. 이러한 이유로 통계적 확률과 수학적 확률의 관계에 대해서는 정확하지 못한 설명이 주류를 이루고 있으며, 직접적으로 시험문제의 해결에 영향을 주는 것은 아니지만 `통계단원` 전체에 대한 명확한 이해를 가로막는 이유로 작용하고 있기도 합니다.

 

우리가 보통 주사위를 던졌을 때 1의 눈이 나올 확률이 `1/6`이라고 할 때, 이것은 `수학적 확률`을 뜻합니다. 그런데, 통계적 확률과의 관계를 설명할 때 무심코 " 주사위를 6번 던질 때야 1의 눈이 한 번도 안 나올 수도 있지만, 600번쯤 던지면 1의 눈이 100번에 가깝게 나오겠지? " 라고 설명하는 경우를 많이 보게 됩니다. 교과서의 기술도 `확률`편에서는 이와 비슷하게 서술하고 있는데, 사실 이것은 `통계`를 배우기 이전의 설명으로는 불가피한 측면이 있습니다. 그러나 `통계`단원을 배우고 나서는 `명확하게` 이런 설명의 의미를 `통계`의 입장에서 `교정할 필요`가 있는데, 교과서에서 `큰수의 법칙`을 `통계단원`에서 다시 한 번 언급하는 이유도 여기에 있습니다. ( 사실 여러분 스스로 학습하는 과정에서 가장 어려운 이해가 이런 부분일 것입니다. 뒷 단원을 배우고 나서, 앞단원에서 `대충` 넘어갈 수밖에 없었던 내용을 정확하게 재규정해야 하는 부분들이 현재의 교과체계에서 의외로 많이 있습니다. )

 

이런 설명을 들을 때, 수긍을 한다고 해도 무언가 `갸웃거린 적`이 있다면, 그것은 여러분의 `감각`이 전적으로 정당한 것입니다. 사실, 이런 부분을 가르치는 사람이 정확하게 설명해줄 필요가 있는데, 불행하게도 가르치는 사람도 정확하게 규정하지 못하는 경우도 많이 있는 듯합니다. 그만큼 `통계학`은 의외로 어려운 학문이기도 합니다. 아무튼, 사실은 이렇습니다.

 

"주사위를 600번 던질 때 1의 눈이 몇 번 나올까? " 라고 누가 묻는다면, "주사위를 600번 던질 때 1의 눈이 나오는 횟수는 `확률변수`이며, 그 값은 0에서 600까지의 모든 값을 가질 수 있고, 그 각각에 대응하는 확률은 `독립시행의 확률`로 나타나며, 1의 눈이 나오는 횟수는 시행횟수가 600이고, 확률은 1/6인 이항분포를 따르며, 그 `평균`은 100입니다. " 라고 대답해야 비로소 교과과정에서도 `정확한 대답`이 될 수 있습니다. 이해되시죠? 주사위를 600번 던지면 1의 눈이 한 번도 안 나올 수도 있습니다. 물론 600번 모두 1의 눈이 나올 수도 있습니다. 단지 그러한 일이 일어날 확률이 `거의 0`에 가까울 뿐입니다. ( 이항분포를 정규분포로 근사하면 여러분도 그 확률을 쉽게 구할 수 있습니다. )

 

비슷해 보이긴 하지만, `철학적인 관점`에서도 매우 다른 것입니다. 주사위를 600번 던지면 1의 눈이 100번 나온다는 것은 `평균`이지, 가능한 모든 값이 아니라는 점입니다. 여러 칼럼에서 중요한 것은 "확률의 차이일 뿐"이라고 말씀드린 적이 있는데, 이 말의 수학적 근거는 바로 이러한 것입니다. 물론 통계적 확률과 수학적 확률의 정확한 관계도 바로 이것을 전제로 하여, 설명될 때만 올바른 것이며, 따라서 교과서의 서술과정에서는 정확하게 이 위치에 `큰수의 법칙`을 설명하고, 그 때까지 여러분이 혹 갖고 있었을 `마지막 의문`을 해결하라고 정리되어 있는 것입니다.

 

아마도 필자의 이 글을 읽을 때 쯤, 여러분의 수험생활에서 가장 중요한 평가인 `평가원 모의수능`의 성적이 여러분 앞에 놓여 있을 것입니다. ( 시험 전에 읽은 분도 있겠지만... ) 모의고사와 관련된 이야기는 워낙 자주 드렸기 때문에 새삼스럽게 다시 무언가를 말씀드릴 것은 없습니다. 다만, 확률의 차이라는 것이 무엇을 의미하는지를 보다 분명하게, 여러분이 배우는 `확률과 통계` 단원의 내용영역과 관계하여 다시 설명 드리는 것으로, 여러분이 그 성적표를 어떻게 해석해야 할 것인지를 말씀드리고 싶습니다.

 

현재의 성적에서, 원하는 목표를 달성하기 위해서는 `기적`에 가까운 변화가 일어나야 하는 경우도 있을 것입니다. 그러나 `기적`도 엄연하게 일어날 확률을 갖고 있는 `현실`입니다. 사실, 예를 들어, 수리영역의 경우 여러분이 얻은 점수가 원점수 30점이라고 해도, 수능에서 1등급이 될 `확률`은 엄연히 존재합니다. 필자가 이런 말을 하면, 앞서의 예도 있으므로, 그것은 주사위를 600번 던졌을 때 1의 눈이 1번도 안 나올 확률 같은 것 아니냐고 `의심`할 수도 있습니다. 필자가 `통계적 자료`를 갖고 있는 것은 아니지만, `느낌`으로 확신을 갖고 말씀드릴 수 있습니다. 절대 그렇지 않습니다. - 농담이지만, 필자의 이름이 feel 입니다. 필자의 feel은 거의 과학의 수준이라고 자부하면서 살고 있습니다. (???) -

 

정확한 수치적 근거를 제시할 수는 없으나, 현재의 원점수 30점이 수능에서 1등급이 될 확률은 예를 들면, `원리합계` 문제가 수능 수리영역에 나올 확률보다 훨씬 크며, `산술-기하평균을 모르면 풀 수 없는 문제가 수능에 출제될 확률에 비하면 비교할 수 없을 만큼 크고, 아마도 수능 시험당일 여러분이 수험장에 지각할 확률보다도 훨씬 클 것입니다. 물론, 아무것도 하지 않아도 저절로 그렇게 된다는 뜻도 아니고, 그렇다고 매우 높은 확률로 그러한 일이 일어난다는 뜻도 아닙니다.

 

많이 어렵습니다. 따라서 그 어려운 만큼 정말로 치열하게 공부해야 합니다. 필자가 오늘 말하고 싶은 것의 핵심은 그렇다고 해서, 여러분이 걱정하는 일들 - 앞서 든 예들은 여러분이 걱정하는 일들일 것입니다. 시험 날 지각을 하거나, 컨디션이 안 좋거나, 주변적인 것이 출제되면 어떻게 할까 하는 것들 - 이 실제로 일어날 확률보다는 성적이 비약적 향상이 일어날 가능성이 매우 크다는 것을 말씀드리고 싶은 것입니다. 그러니, 수능에 나올지 몰라서 원리합계의 학습은 열심히 하면서, 자신의 성적이 비약적으로 성장하여 1등급이 될 수 있다는 믿음은 쉽게 의심하는 것은 `확률과 통계`가 무엇인지를 전혀 모르는 것에 다름 아닙니다.

 

여러분은 할 수 있습니다. 자신을 믿으십시오. 그것은 근거가 없는 것이 아니라, `과학적, 수학적 근거`를 갖고 있는 믿음인 것입니다. 그 믿음으로부터, 이제부터 `기적`이 시작될 것입니다.
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