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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

수학적으로 생각하는 훈련이 '덜' 된 사람들이 대표적으로 범하는 잘못 [5]

작성자
강필
작성일
2019-12-18 06:52
조회
2381
 

과거에 강의할 때, '인간 종족'에 대한 믿음이라는 표현을 종종 사용했던 기억이 있습니다.   말하자면, '인간'은 필요로 하는 '능력'을 스스로 발전시키는,  '인간'은 인시 창조했다고 하는 설명이 오히려 '간단하다' ( 물론 나는 이른바 '창조론'을 믿는 사람은 아닙니다. )고 할 정도로, '신묘한'  능력을 갖고 있다고 할 수 있습니다.   무슨 말인가,  어떤 사람이 '수학적 능력'이 부족하거나, 덜 '체화'되었다면 그렇게 '훈련' (공부)하지 않기 때문이라는 뜻입니다.

 

'수능 문제'를 소재로 이야기를 하고 있으므로, 수능 출제와 관련된 자료 하나를 인용해보면,  평가원은 수능에서 평가하는 '계산' 능력에 대해서 이렇게 쓰고 있습니다.  ( 수학적 사고력에 대한 이런 내용은 과거 '수능출제매뉴얼'에서 이야기했던 내용보다 훨씬 간단한 형태로 '학습방법 안내'라는 책자로 제시하고 있습니다. )



그렇다면 '계산 능력'을 기르러면 어떻게 해야 할까요?  네... 여기 쓰여진 '수학적 활동'을 '반복'하면 됩니다.   저절로?  네...'인간 종족'은 그 '어려운 것'을 저절로 해낼 수 있는 존재입니다.   이런 의미에서 내가 좋아하는 산을 소재로 이런 이야기를 한 적이 있습니다.

 

내가 오늘 지리산을 갔는데, 생각보다 힘이 들더라.   그럼 어떻게 하는가?   나는 '다시' 갑니다.   그래도 힘들면?  또 '다시' 갑니다.  그래도 힘들면?  또 '다시.  언제까지?   '힘들지 않을 때' ( 목표가 그것이라면 )까지.   그것을 ( 단지 다시 가는 것만으로 '반드시' 함들지 않게 되리라는 것을)  어떻게 '보장'할 수 있는가?  '인간종족'의 역사가 증명한다.  뭐 그런 식입니다.

 

구체적인 '예'를 들어보겠습니다.



이 문제를 해결하는 방법은 당연히 여러가지가 있습니다.   개인적으로 좋아하는 방법은 다음과 같은 것입니다.



자세한 기억은 없지만,  아마도 저런 종류의 문제를 내가 처음 풀었던 방식이었을 것입니다.   그리고 나는 이런 방법이 '수학적으로 올바른 방법'이 아니라는 것도 어느정도는 알고 있었습니다.   그런데, 나의 '장래희망'은 '수학자'가 아니라 '물리학자'였기 때문에, 이런 방법으로 푸는 '훈련'이 더 중요하다 - 사실 이런 생각은 '정확한 판단'은 아니긴 했지만 - 는 식으로 생각했습니다.   '대학입학'을 위한 시험인 '학력고사'는 당시 4지 선다형 - 주관식 문항도 없었습니다. - 이었기 때문에, 이렇게 풀어도 충분하기도 했습니다.

 

이런 풀이 - 서술형 시험이었다면 채점하는 사람의 주관에 따라서 0점 처리를 해도 할말은 없는 - 를 통해 얻은 것은 무엇이었을까요?  네... '약간' 과장하면, '발견적으로 추론'하는 능력 - 조건을 만족하는 함수를 찾는 - 이 생겨났습니다.    그리고 이렇게 해서 만들어지는 능력은 가령 다음과 같은 문제를 해결할 때, '도움'을 주는 요소로 작용을 합니다.



문제의 '출제의도'는 분명합니다.   '부분적분법'을 이용하여 정적분값을 '게산'할 수 있는가를 묻는 문항이라고 할 수 있습니다.   그런데 '적분법'이란 '미분'의 역연산입니다.   따라서 한 눈에 '부분적분'을 하면 어떻게 식이 정리될 것인지가 보이지 않으면,  '어떤 함수를 미분하면' 저런 식이 나올까?  이런 생각을 할 수 있습니다.   그래서 이런 풀이가 가능합니다.



평가원은 문제의 검토과정에서 이렇게 해결할 수 있음도 검토를 당연히 했을 것입니다.   그리고 이렇게 생각했을 것입니다.   '그렇게 해결할 수 있다면'  어느정도 '유리'해도 되지.    그런데 이런 풀이를 보는 어떤 사람은 이렇게 생각할 수 있습니다.   이런 생각은 '머리가 좋아야' 할 수 있는 것 아닌가?   네.  맞습니다.  '머리'가 좋아야 = 수학적 사고력이 있어야.   이렇기 때문입니다.   그런데 이때 '좋은 머리'는 타고나는 것이 아니라, 그런 '머리'가 되도록 '훈련'되었기 때문일 뿐입니다.    그런 훈련은 예를 들면,  를 만족하는 함수는 어떤 것이 있지?  이런 것을 찾는 과정과 크게 다르지 않습니다.   왜냐하면  정도의 계산은 '수능'을 보는 수험생이라면 '익숙해진' 계산일 것이 분명하기 때문입니다.

 

다시 문제로 돌아가서 서술형 풀이라면 어떻게 풀어야 하는지는 이른바 '미분계수의 정의'를 공부한 수험생이라면 충분히 가능할 것입니다.   

을 만족하는 함수는 '유일하다'고 할 수 없기 때문에 이제 극한값을 구하라는 식을 '미분계수의 정의'를 이용할 수 있도록 '변형' 해야 합니다.  (풀이가 목적이 아니므로 )  이 풀이는 일단 생략하겠습니다.    그럼 얻을 수 있는 것은?  네.  문제에서 구하라는 값을, 문제에서 제시된 조건을 이용할 수 있도록 주어진 식을 '변형'하는 능력이 생겨납니다.   ( 단 한 문제로 생겨난다는 뜻이야 당연히 아니지만 )

 

그런데, 이런 문제를 해결하는 '방법'에 대한 다음과 같은 '정리'가 한때 인기를 끌었습니다.   ( 구체적인 표현법은 조금씩 다르긴 했겠으나 )



'개념정리'라고 하는 경우도 있고,  '따름정리'라고 하는 경우도 있고, '명명'도 다양했을 것입니다.   그리고 이것을 '암기'해두라고 합니다.  이런 식의 풀이'방법'을 한줄 풀이, 3초 풀이.  뭐 다양한 '선전'도 많이 합니다.   '교과서'에는 이런 내용이 없기 때문에, 이런 '신세계'는 각광을 받기도 합니다.   심지어 '기출문제'에도 잘 적용됩니다.

 

그러던 어느날,   이런 문제가 출제됩니다.



이번의 경우는 ㄷ)은 참인 명제임에도 불구하고 '처참한' 정답률로 결과가 나타납니다.  ( 말하자면, 평가원은 '난이도' 조절에 실패합니다. )

 

개인적으로, 이 문제는 매우 기억에 남는 문제이긴 합니다.   모의평가가 있기 바로 전에 저런 내용을 '강의'에서 다루었기 때문입니다.   그런데, 그 '수업'을 들었던 학생들도 많이 틀렸습니다.   왜냐하면 내가 수업을 하면서 그것을 '강조'하지 않았기 때문입니다.   왜냐하면 저 문제가 출제되기 '전'이었기 때문입니다.  '수학적으로 바람직한 공부가 아니다'  이런 점에 초점을 맞추어서 설명하는 수준이었기 때문입니다.   ( 그 수업에서 그럼 극한값 어떻게 구하냐?  - 미분계수가 아니면 - 라고 질문한 학생이 있었는데, 그때 간단하게 이렇게 구하면 되지.  뭐 이런 식으로 '빠르게' 넘겼고, 그 학생은 당연히 문제를 맞혔고, 심지어 그 학생 옆에 있었던 여자친구 - 이것들이 학원서 연애를 ! - 마저 틀리긴 했습니다.  )

 

나는 문제가 출제된 '이후'는 이제, 저런 설명은 다 '삭제'될 줄 알았습니다.   그런데 그게 아니라, 이제 다음과 같이 일제히 바뀌었습니다.

 



 

뭐.  평가원이 요구하는 수준보다 훨씬 더 많이 '공부'하면 되긴 하니까, 다 좋다고 합시다.  중요한 것은 이런 것을 '암기'해서 문제를 풀면, 어떤 능력이 생겨날까요?   어떤 '아는 것'은 늘어날 수는 있습니다.   그런데 과연 능력은?  일단 식을 변형하는 능력은 '직접적으로' 늘지 않습니다.  왜냐하면 '식을 변형하지 않고 문제를 해결하기 때문'입니다.   조건을 만족하는 함수를 찾는 능력도 당연히 늘어나지 않습니다.  그런 시도조차 하지 않으니까.

 

수학적 사고력에서 가장 '단순하다'  ( 이 말은 정확한 말은 아니긴 하지만, 시험을 기준으로 한다면 )고 할만한 '계산 능력'에서도 이런 것입니다.  그런데 수학적 사고력 일반에 대해서는 두말할 나위도 없는 것입니다.

 

사실,  수학'공부'를 하면서, '수학적 능력'을 늘려나가는대신에, '적용확률'은 매우 낮을 수밖에 없는 '지식의 양'을 늘리는 이유는 거의 대부분 '문제 해결 시간 단축'을 명분으로 합니다.   일단 문제 해결 시간을  줄일 수 있다는 것도 사실은 '틀린' 말입니다.   그런데 그것을 인정한다고 해도 - 이 글의 주제가 그 내용이 아니기 때문에 일단 그렇게 해서 시간을 줄일 수 있다고 합시다 -  그것은 '수학적 사고력'을 높일 수 있는 기회를 걷어차고 얻는 '이득'일 뿐입니다.   그리고 더 심한 것은, 그러면서 '수학적 재능'은 마치 타고나는 것처럼 -  고등학교 과정 정도의 수학에서 '수학적 재능'을 이야기하는 것이 얼마나 우스운 일인지는 논외로 해도 - 이야기한다는 것입니다.

 

고3이라면?   개인적으로는 고3이어도, 따라서 그런 식으로 - 수학적 사고력을 늘릴 수 있는 기회를 걷어차는 것은 - 공부하는 것은,  적어도 수능을 위한 공부라면 ( 다른 시험은 제가 잘 모르니 뭐라고 할 수 없을 듯 하고 ) 바람직하지 않다고 확신합니다.   하지만 고3은 '알아서 해라' 이럴게 말하고 싶습니다.  ( 수놀음이 수능을 공부하는 공간이 아니기 때문에,  이에 대해서 자세히 이야기해드릴 수는 없기도 하고 )   그런데,  중학교 1학년 ~ 고등학교 2학년이라면?  그것은 선택할 수 있는 '최악의 선택'일 뿐입니다.   학교 시험의 경향때문에, 어쩔 수 없다.   아닙니다.  학교 시험의 경향때문이라면, 이른바 '내신 시험 공부를 하는 기간'에 필요한 '지식 늘리기'를 하면 됩니다.   그리고 시간이 지나면, 알아서 '지식의 양'은 줄어듭니다.

 

인간 종족의 위대함을 믿는다면, 수학적 사고력을 늘리는 방법은 간단합니다.   '수학적으로 생각'하면서 문제를 풀면 됩니다.  '지식'의 단순한, 기계적인 적용을 최소로 하면서.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
전체 2

  • 2020-07-29 14:34
    강필선생님 글을 읽다 보면 어떻게 똑같은 문제를 보고 핵심을 짚는 능력이 이렇게 뛰어날까;하고 감탄을 합니다. 솔직히 부럽습니다. 수학뿐만이 아니라 사회현상이나 다른 범주에서도 이능력은 유효할테니까요. 긁을 읽으면 소름이 끼치고 수학에 대한 욕구가 꿈틀대는걸 느끼곤 합니다.(물론 아마추어로써의 수학입니다. 전공이나 깊은 수학을 할만한 능력이 없는 사람이기에)
    동시에 이런분 강의를 볼수 없음에 안타깝죠.
    저역시 시중 강의는 강사의 개념설명쇼. 해답지의 동영상 버젼이라고 생각합니다.
    한가지 방법이 있다면 강의중간중간에 포즈를 누르면서 혼자 생각해보는것이 그나마 사고력에 도움이 될수있는 방법이라고 생각합니다. 망상일지도 모르겠으나..

  • 2019-12-18 09:20
    제가 예전에 어디선가 들은 얘기가 있습니다
    "아 '거의' 다 맞춘건데!!"는 결국 틀렸다는 이야기와 같다.
    사교육에서도 비슷한 코메디가 있더라구요.
    "아 거의 다 정리했는데!! 미분계수라는 조건만 추가했으면 완벽한 정리였어"
    핵심은 이게 아닌데 말입니다.
    요즘 친구들에게 자주 하는 얘기가 있습니다
    '너네들은 첫 단추부터 잘못 했다. 근본적인 생각 자체를 바꿔야한다'
    첫 단추부터 잘못 꿰엇는데 '거의 맞춰봣자' 무엇을 하느냐.. 어차피 틀린건데..