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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

수학적으로 생각하는 훈련이 '덜' 된 사람들이 대표적으로 범하는 잘못 [4]

작성자
강필
작성일
2019-12-12 18:34
조회
1359


2020 수능 나형 20번을 생각해보겠습니다.   위와 같은 함수를 주고 다항식 에 대해서 '명제의 참과 거짓'을 판정하라는 문제입니다.   따라서 이 문제의 해결에서는 평소에 '수학적 사고력'이 체화되지 않아서 생길 수 있는 '명제와 명제의 역의 구별이 불분명한 것' 같은 잘못을 하면 언제든 문제를 틀릴 수 있는 것입니다.

제일 먼저 판정해야 할 명제는 다음과 같습니다.



이것을 굳이 '식'의 형태로 표현하면 다음과 같습니다.



그런데 놀랍게도, 내가 본 많은 동영상 풀이는 꽤 많은 경우 ( 극소수가 아니라 ) 다음과 같은 명제를 판정하고 있었습니다.



혹시 잘못 들었나 싶어서 무슨 CCTV 검색하듯 돌려보고 해도 주어진 명제의 '역'을 판정해놓고 ㄱ)이 참이라고 말하고 있었습니다.

물론 지금의 경우는 주어진 명제의 '역'도 참이기 때문에, 문제를 틀리지는 않았습니다.   그리고 만약에 주어진 명제의 '역'이 거짓이었다면 '답'이 틀렸을 것이기 때문에 어떤 잘못을 했는지 깨닫긴 했을 것입니다.    '답'을 보고서야 무엇을 잘못했는지 비로소 깨닫는다면, '시험'이라면 이미 '늦은 것'입니다.

그리고 '내가 중요하다고 강조했지!'라고 주장하는 사람일수록 이런 경향이 많아 보였습니다.  ( 그 많은 동영상 풀이의 '통계'를 만들어본적도 없고, 의사도 없었습니다.   느낌상 그런 것 같다는 정도이긴 합니다. ) 왜냐하면, '평소에 정리해두라'고 - 사실은 기출문제에서 물어보았던 명제는 사실 조금씩 다른 것을 구별하지 못하고 있는 경우가 많았고 - 강조했음을 주장하다보면, '덜 체화된' 명제와 명제의 역의 구별을 '문제가 명제의 참, 거짓을 묻고 있음에도 불구하고'  주의를 기울이지 못하게 되는 것이 그 원인의 하나라고 생각합니다.

또 한가지 놀라운 것은, 이 명제의 판정을 단 한 분도 - 내가 본 동영상 풀이에 한정해서 - '대우'명제를 이용해서 판정하지 않는다는 것입니다.



역시 이 사실을 모르는 사람은 없을 것입니다.   그리고 동영상 풀이를 제공하고 있는 '모든'(!) 강사는 명제를 소재로 강의를 할 때는 아마도 이를 엄청 중요하게 강조할 것입니다.    그런데 그 중의 단 한 사람도, 이 명제의 판정에서는 '대우'를 판정하지 않습니다.   물론 지금의 경우 주어진 명제와 명제의 대우의 판정은 '큰 차이'가 없습니다.   일단 대우는 다음과 같습니다.



이상한 일은 '문제풀이 시간과 과정의 단축'을 '매우 중요하게 강조하는 강사' - 가령 삼차함수의 비율관계와 같은 단지 계산과정을 조금 줄일 수 있는, 그것도 수능문제에 적용할 수 있는 확률은 거의 없는 수준의 - 가 이 명제의 '대우 판정'은 하지 않는다는 것입니다.   지금과 같은 명제에서 주어진 명제를 판정하나, 대우명제를 판정하나 사실상 큰 차이가 없다.  이런 생각이라고 해도 단 한 사람도 '대우 명제'를 판정하지 않는다는 것도 의아한 일이긴 하지만.

일단 주어진 명제를 판정하려면 '실수 전체의 집합'에서 생각해야 합니다.  물론 지금 명제는  인 경우는 '연속함수의 성질'을 언급하면 간단히 해결되긴 합니다.   그래서 실수전체의 집합을 인 경우와 인 경우로 나누어서 조사하면 그만입니다.  ( 사실 그래서 ㄱ)명제 판정에서 연속함수의 성질을 '반드시' 언급되어야 합니다.   ) 그런데 '대우명제'는 일단 만 조사하면 됩니다.   실수전체의 집합에서 조사하는 것과 에서만 조사하는 것은 사실상 큰 차이는 없습니다.  ( 연속함수의 성질때문에 ) 그래도 이 작은 차이는 무슨 교과서에 없는, 그래서 유용할 가능성이 거의 없는 성질, 공식 등을 '암기해서' 조금이라도 시간단축하는 것이 중요하다고 강조하려면 '꽤 큰 차이'로 취급해야 마땅할 것입니다.

뭐, ㄱ) 명제는 그렇다고 합시다.



개인적으로 어느정도 확신을 갖고 이야기할 수 있습니다.  아마도 이 문제가 '평가원표'가 아니었다면 '동영상 풀이'를 제공하는 많은 강사들에게 '욕'을 좀 들어야 하는 문제였을 것입니다.     그것은 결론에서      인 경우에 대한 언급이 없기 때문입니다.    즉 이 명제가 다음과 같이 '수정되어야' 바람직하다고 생각할 것이 분명합니다.



그런데 ㄷ)과 표현이 중복이 있어서 ㄴ)은 그냥 이런 정도에서 출제했다고 생각할 가능성이 크고, 그래서 ㄷ)이 참인 명제로 출제하지 않은 것도 '부정적으로' 평가할 가능성이 큽니다.

놀랍게도 이 명제도 명제의 역을 판정하는 경우도 있었습니다.  ( 이 경우는 극소수였던 것으로 기억합니다.  )  그리고 이번의 경우는 주어진 명제의 '역'은 분명히 거짓입니다.  즉



은 '거짓'명제입니다.    그런데, 아무런 근거도 없이 ( 심지어 문제가 에서만 물어보았다는 기상천외한 논리로...) 참이라고 하고 있었습니다.   말하자면 그냥 '엉터리'로 풀어놓고, 답은 '참'이렇게 이야기하는 것에 불과합니다.   ( 아마도 조금이라도 시간 덜 쓰고, 한 줄 덜 쓰고 판정하고 싶어서일 것입니다.  좀 심하게 말하면 맞고 틀리고는 운이다.   그냥 시간 덜 쓰고, 풀이 덜 쓰자!.   강사야 '답'을 보고 '맞는 답'을 부르면 그만이지만, 시험을 볼 학생은 어떻게 하라고? )

그리고 여기서 사람들이 얼마나 수학적 사고가 체화되어 있지 않은가가 여실히 드러납니다.   일단 주어진 명제를 판정하려고 하면 역시 '실수 전체의 집합'에서 조사해야 합니다.   그래서 실수 전체의 집합을   로 분할하여 조사해야 합니다.   그런데 내가 본 동영상 풀이에서는 ( 그래도 인내심을 갖고 꽤 많이 보았음에도 불구하고 )   인 경우를 설명하는 경우가 거의 없었습니다.   물론 역시 미분가능한 함수임을 이용하여 설명하는 것이 어렵진 않습니다.  그런데 연속함수의 성질과 다르게 '미분가능한 함수의 곱'은 미분가능한지는 '교과서의 기본성질'은 아닙니다.   따라서 미리 정리해서 강조한 경우라면 그런 강조라도, 그렇지 않은 경우라면 최소의 설명이 '반드시' 있어야 합니다.   그런데 대부분 그냥 '생략'해버립니다.   그것은 아마 '과거에 출제된'  미분가능하기 위한 조건을 구하라는 문제와 지금 ㄴ)명제를 착각하기 때문입니다.

사실 명제의 참과 거짓, 그 판정에 대한 수학의 기본사고가 체화되지 못하였기 때문에, 이 명제의 '대우 판정'은 전혀 생각하지 못합니다.  결론이 이라는 사실에는 아무런 주의도 기울이지 않습니다.   일단 대우 명제를 써보겠습니다.



네,   일단  에서만 조사하면 됩니다.   그것으로 이 대우명제가 참이면 더이상 어떤 조사도 필요 없습니다.   그래서 문제의 출제의도상 ㄴ)은 '참'이어야 합니다.   만약에 에서 조사했는데,  그때 미분가능했다면 이제는 다른 조사를 해야 합니다.   왜냐하면 다른 어떤 실수에서 미분불가능할 수도 있기 때문입니다.

이번에는 ㄱ)과 사정이 좀 다릅니다.  ㄴ)명제는 주어진 명제보다는  '대우명제'를 판정하는 것이 간명하며, 조사시간도 이번에는 '크게' 줄어듭니다.  ㄱ)은 주어진 명제를 판정하나, 대우를 판정하나 사실상 큰 차이가 없지만 ㄴ)은 '대우명제'를 판정하는 것은 명백히 '유리'합니다.   특히 무슨 비킬러/준킬러 빨리 풀어야 한다면 이상한 공부를 강요(?)하는 관점이라면 반드시 ㄴ)은 대우로 판정해야 '일관성'이 있는 것입니다.

ㄱ)명제도 대우명제를 판정하는 사람이 한 사람도 없다는 것이 사실 이상한 일이긴 하지만 ㄴ)명제를 대우명제로 판정하는 경우가 없다는 것은 사실 명제에서 '대우명제'를 강조할 자격이 없다고 해도 과언이 아닙니다.  ( 언젠가 모의평가에서도 이런 일이 있었던 것으로 기억합니다.  대우명제로 판정하라고 했는데, 한 사람도 대우명제로 판정하지 않는... )

ㄷ)으로 넘어가보겠습니다.



그럼 이것도 대우?  '당연히' 아닙니다.  왜?  ㄴ)에서 한번 물어보았으면 평가원은 특성상 또 묻는 경우란 거의 없습니다.   이번은 합답형 구조에 맞게 '참'으로 판정한 ㄴ)을 이용하라는 것입니다.   그러면?  네...  , 즉 '치환적 사고'를 필요로 합니다.  그러면 이때 함수 는 문제가 묻고 있는 성질의 관점에서는 와 '동일'합니다.   ( 풀이가 목적은 아니니 이에 대한 자세한 설명은 생략합니다. ) 따라서 ㄴ) 명제를 적용하면 다음의 명제가 참입니다.



그러므로 ㄷ)명제는 '거짓'으로 추론할 수 있습니다.   시험이라면 굳이 '반례'를 찾을 필요도 없이, ㄷ)은 거짓이라고 확신할 수 있을 정도로.  그런데 또 '시험'이라서 불안하다면 ㄷ)명제의 반례는 를 찾으면 그만입니다.

ㄷ) 명제를 '참'으로 출제하면 이야기가 좀 다릅니다.  왜냐하면 ㄴ)명제를 적용하는 것만으로는 함수 에 대해서 모두 알 수 있는 것이 아니기 때문입니다.   즉 ㄴ)명제를 '좁은 의미의 출제의도'대로 해결해왔다면 일때에 대해서는 아무런 조사도 하지 않았으므로 이제 조사를 해야 합니다.   그래서 ㄷ)이 '거짓'이어야 합니다.

평가원은 합답형 문제에서 잘 모르면 ㄷ)을 참이라고 찍는 학생의 존재를,  그리고 무슨 몇면 연속 ㄱ)/ㄴ)/ㄷ)이 참이었다는 등 ( 한 마디로 1등급을 목표로 하는 경우는 아예 듣지를 말아야 할 ) 이런 이야기를 잘알고 있습니다.   그리고 '등급컷'을 낮출 '의도'도 없습니다.   그래서 평가원은 이렇게 생각을 했을 것입니다.  '그래도 1등급을 목표로 하는 경우는 그런 부분에 현혹되지 않고 정확하게 판정할 것이다'.., 그러니 문제의 '의도'에 맞게 ㄷ)을 거짓으로 하는 것이 옳다.  적어도 1등급 컷은 흔들리지는 않을 것이다.

실제 결과는?

수험생도 평가원의 예상을 벗어났고, 그리고 '동영상 풀이'는 평가원이 볼 릴도 없고, 볼 가치도 없겠지만, 아마도 본다면, 평가원이 생각하는 것보다 훨씬 '처참한 수준'이라는 것의 드러났을 뿐입니다.

그러면 왜 이런 일이 '반복되는가',  수학적으로 생각하는 훈련은 비로소 어떻게 가능한가에 대해서는 다음 글에서 이야기해보록 하겠습니다.  문제의 풀이를 마무리하는 것은 독자들이 충분히 할 수 있을 것이라고 생각합니다.
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  • 2020-01-18 01:29
    안녕하세요. 개인 블로그 인지는 모르겠지만, 수학 참고자료를 찾는다고 인터넷을 돌아다니다가 왔는데, 처음 읽는 글이 이 시리즈였습니다. 아마 글쓴이 분이 저보다는 수학을 전문적으로 하신분 같습니다. 그런데, 저도 이 문제의 해설강의를 3명 찾아봤었습니다. 그런데 이런 오류는 없었던 것으로 생각됩니다. 20번 문제가 묻고 있는 그 짧은 글에서 수학 강사인데 명제의 관계가 어떻게 되어있는지도 모르는 사람이 있는지 의심스럽습니다. 스타 강사가 아니더라도 웬만큼 공부하는 학생이라고 해도 너무도 당연히 구별할 수 있지 않을까 생각이 들 정도의 문제의 조건이라고 생각합니다. 제가 하고자하는 말은, 제가 들은 강사분들은 다 문제를 풀 수 있는 방법을 각자 맞게 설명하셨는데, 왜 글쓴분께서는 어떤 강의에서 그랬는지 명시적으로 적어놓지도 않고, 갑자기 수학 강사를 대부분 싸잡아서 비난하는 듯한 글을 적으시는지 모르겠습니다. 이 문제가 엄청 어려운 것도 아니고 그저 일반적인 고등학생 수준의 조금 어려운 문제일 뿐입니다. 오류를 범하는 수학 선생님들이 많았다면 제 눈으로 확인하고 싶습니다. 개인적으로라도 오류를 범하신 강사분들 성함 보내주시면 해설강의 보고 다시 판단하겠습니다.

    그리고 블로그인지 모르겠지만 저도 이 시리즈 읽으면서 느낀 점 말해보겠습니다. 문제제기를 [1]에서 했는데, 그 사이에 굳이 먼저 적지 않아도 될 내용들을 적어서 글을 혼란스럽게 적었는지 모르겠네요. 혼자 적는 글이라면 상관없겠지만 보는 입장에서는, [1]을 보고 "왜 계속 다른 소리를 하는 거지?"라는 생각을 했습니다. [4]에서야 비로소 대답을 하는데, 문제점도 독자에게 제대로 알려주지 않고 혼자만 알고계시는데, 그것을 비난하여 수학 강사들을 비난하고 있네요.

    저도 해설강의 보다보면 '이분은 이것을 시험에서 적용하라고 이런 식으로 가르치는건가?, 이걸 떠올릴 수 있다고 생각하는건가?' 라며 의아해할 때가 많습니다. 하지만 그분이 항상 그런 것도 아니며, 다른 문제는 또 잘 설명하기도 합니다. 해설 강의하다가 중간중간 한 문제 정도 실수하기도 합니다. 저도 그렇고 본인도 그렇고 아무리 잘하는 것이 있더라도 실수는 하지 않습니까?

    주장에 대한 근거가 제게는 비논리적으로 보입니다. 그리고 이 글이 당초에 비난하려는 마음이 가득한 상태에서 적힌 글이 아닐까 생각해봅니다. 감히 남에게 하는 말이지만, 결국 인간은 인간일 뿐이고 완벽하지 않기 떄문에, 모두가 겸손해야 하지 않을까 생각합니다.