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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

수학적으로 생각하는 훈련이 '덜' 된 사람들이 대표적으로 범하는 잘못 [3]

작성자
강필
작성일
2019-11-30 09:43
조회
230
어떤 '지식'을 갖는다는 것하고, 그 '지식'을 '실천'한다는 것은 전혀 다른 것이라고 할 수 있습니다.   내가 나온 학교의 교훈이 '학행일치'(學行一致)였는데,  이것이 쉬운 일은 아닙니다.  '의지'가 없어서 그런 경우도 있지만, '배운 것'이 '체화'되지 못하면 '능력'이 없어서 그렇게 되는 경우도 있습니다.

다음의 '교과서 내용'을 모르는 사람은 아마도 없을 것입니다.



그런데, 이 내용의 '체화'는 정말로 어렵습니다.   과거에 내가 강의할 때 강의한 내용, 또는 여기 수놀음에 쓴 내 글 중에서 '명제'와 '명제의 역'을 구분하지 않는, 또는 그런듯한 내용을 찾는 것은 어렵지 않을 것이라고 생각합니다.  ( 그래도 나는 이런 면에서 항상 주의를 기울이는 편이고, 어느정도 '체화'되었다고 생각하는 사람입니다. )

따라서,  전편의 글에서 소개한 다음의 두 문제의 '차이'는 모르고 지나갈 수도 있다고 생각을 합니다.





한 문제는 '연속일때' , 한 문제는 '연속이 되도록 하는' ...

이 두 문제는 '다른' 문제입니다.   두 문제 모두 '연속함수의 성질'과 '연속의 정의'를 묻고 있지만 문제의 논리구조는 다릅니다.  하나는 '연속'은 충분조건 , 혹은 그런 전체집합의 제시라고 볼 수 있습니다.  하나는 '연속'은 필요조건 ( 명제가 참이 되었을 때 )입니다.    그리고 답이 되는 상황은 '필요충분조건'이므로, 사실 이를 구별하지 않고 문제를 풀어도 큰 관계는 없기도 합니다.

( 한글 표현은 수학적으로 다양하게 해석될 여지는 있습니다.   따라서 명제의 참, 거짓의 판정이 문제라면 정확하게 표현은 해줄 것이긴 합니다.  하지만, 예를 들어서  라는 '한글 표현'은 수학적으로는  라고 해석하는 것보다는 라고 해석하는 것이 자연스러운 것입니다.   그래서 예를 들어서 이런 형태로는   과 같은 표현을 써서 출제를 하게 되는 것입니다. )

그런데 문제 자체가 '명제의 참과 거짓의 판정'이 되면 좀 다릅니다.   명제와 명제의 역을 구분하는 것은 결코 쉬운 일은 아니기 때문에, 위와 같은 문제에서라면 그것을 '엄격히 구분하지 못한다'는 이유로 '수학적 사고력이 부족하다'고 하면 좀 억울할 수도 있다고 봅니다.   그런데 문제가 명제의 참과 거짓을 판정하라고 하는데, 그것을 구분못한다면?   그것은 수학적 능력이 부족한 것입니다.    '알고 있지만',  단지 아는 것에 그치는,  그것을 자기 것으로 만들지 못한 것입니다.  그리고 그렇다면 그런 수준에서 '명제의 참과 거짓의 판정' 뿐 아니라,  '모든 수학적 설명과 다른 모든 문제의 풀이'에서도 '그럴 가능성'은 매우 높습니다.

어떤 수학적 설명을 할 때,  명제와 명제의 역을 구분하지 못한다면 많은 문제점을 갖게 됩니다.   예를 들어서

 와 관련된 설명도 '제대로' 이루어질 가능성이 떨어집니다.   가령 이 명제는 함수가 미분가능할 때만 성립한다는,  알고는 있어야 하지만, '핵심'은 아닌, 한 마디로 '지엽적인 부분'을 더 중요하게 설명하거나 하는  식이 될 수도 있습니다.

명제의 참과 거짓을 판정하는 문제에서도 그것을 구분하지 못하면,  다른 내용에 대해서는 간혹 구별못할 수도 있다 ( 즉, 그 정도는 이해가능하다는 수준)는 것을 벗어납니다.  반대가 됩니다.   그것을 구분해야 한다는 것을 '지식'으로 배우지 못하면 거의 구별하지 못할 수밖에 없습니다.

와  같은 것은 '미리 지식'으로 정리할 수 있어서 그것을 심지어 '강조'하기도 하겠지만, 교과서에 직접적으로 언급되지 않은 많은 명제들은 명제와 명제의 역의 구별이 쉽지 않을 것입니다.

가령,  2020 수능 나형 28번과 연관이 있는  과 같은 '명쾌한' (?) 문제풀이 방법이 교과서에는 왜 '정리'가 되어 있지 않은지 ( 예제 문제 정도를 풀 때, 이런 방법으로 해결하고 있을 뿐,  이른바 '개념정리'와 같은 방법으로 제시하지 않습니다. ) 를 제대로 이해할 수 없습니다.  그리고 사실 이때 가령 대입했는데, 아무런 성과가 없는 상황 ( 2020 수능 나형 28번 )이 무엇을 의미하는지도 알 수 없습니다.  단지 '기계적으로'  이렇게 하고, 이렇게 해라.   이것을 '개념정리'라고 이름을 붙여서 반복하고 있을 뿐입니다.   그러니 문제를 출제한 사람은 '출제의도를 파악하는데 실패해서 미분할 때 미분하더라도 ( 어떻게든 맞힐 수 있게 출제합니다. ) '제발 미분하기 전에 생각이란 것을 좀 해봐'   이렇게 이야기해주어도 그것을 알아내기 힘들게 되는 것입니다.

명제와 명제의 역을 구별하지 못하는 것은,   명제의 참, 거짓을 묻는 문제를 맞히는 것만 관계된 것이 아니라, '수학 공부' 모든 부분에 영향을 주게 됩니다.  집합과 명제는 '그 지식' ( 모두 아는 것처럼 그 단원의 문제들은 가장 난이도가 낮은 문제로 보통 이해합니다. )이 중요한 것이 아니라, 수학적으로 생각하는 기본틀이기 때문에 중요한 것입니다.

명제와 명제의 역을 제대로 구분할 수 없는  '수학강사'가 문제를 맞힐 수 있었던 이유는 두 가지 중의 하나일 뿐입니다.

첫번째는 '다행스럽게' 물어본 명제가 '필요충분조건'이었다.  - 즉 역도 참인 경우라서 -

두번째는 '정답이 제공되어서' - ???.  좀 너무한 것 같지만 엄연한 사실이긴 합니다. ^^ -

다시 문제로 돌아가봅시다.





두 명제는 '다른 명제'입니다.

따라서 과거 수능에서는 다음과 같이 물어보았던 것입니다.   ( 그리고 이런 예는 정말로 많습니다. )



ㄴ)은 사실상 ㄱ)의 역이 성립하는가를 물어보고 있는 것입니다.   그리고 사실 이런 경우에 ㄴ)은 '참'으로 하는 것이 '아름답다'고 할까요?  아니면 ㄴ)이 '거짓'이 되는 것이 '아름답다'고 할까요?

2020 수능 나형 20번으로 다시 돌아가보겠습니다.



이제 다시 질문을 드려보겠습니다.

(1) 이 문제의 합답형 ㄷ)은 왜 거짓으로 출제을 했을까요?

(2) 많은 '인터넷 동영상 풀이'은 이 문제의 '풀이'에서 어떤 오류를 범하고 있을까요?

(3) 이 문제의 좁은 의미의 '출제의도'는 과연 무엇일까요?

- to be continued -
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  • 2019-12-03 19:18
    평상시에 '~하면 ' 과 '~하도록'을 구분해서 인식하고있었는데... 기분이 너무 좋네요... 문제를 풀면서 항상 피이면 큐이다, 큐이면 피이다 를 구분해서 인식하고풀었는데... 제 행동에 더욱 자신감이 붙습니다... 저는 집합과 명제가 모든 수학교과서서술의 축 이된다고 생각합니다 좋은칼럼 감사합니다 !!!