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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

수학적으로 생각하는 훈련이 '덜' 된 사람들이 대표적으로 범하는 잘못 [2]

작성자
강필
작성일
2019-11-28 22:46
조회
163
 

개인적으로 수학에서 가장 어려운 부분은 '순환논법의 오류'인 것 같습니다.  ( 사실 논리학에서도 마찬가지이긴 하겠으나 )  예를 들어 피타고라스의 정리를 '증명'하는 방법은 200가지가 넘는다'고 하는데, 개인적인 생각으로 '순환논법의 오류'와 같은 수준에서 '검증'한다고 할 때도 과연 200가지가 넘는다고 할 수 있을지는 의문입니다.  ( 개인적으로 그 많은 증명을 알지도 못하고, 내가 아는 여러 가기 증명도 과연 '순환논법의 오류'가 없는가는 장담할 수 없으며, 그것을 '검증할' 능력도 없습니다.  직감상, 엄격한 논리적 검증을 거친 증명방법은 생각보다 많지 않을 것이다.  이런 정도이긴 합니다.  )

 

순환논법의 오류란 예를 들어 이런 것입니다.

 



이에 대해서 다음과 같이 증명을 했다고 해봅시다.



언뜻 보면 별 문제가 없어보이지만, 이 증명은 '증명'이라고 할 수 없습니다.  왜냐하면 증명하라고 하는 것을 '가정'하고 있기 때문입니다.   삼각형의 세 내각의 합이 180도임을 증명하라고 했는데,  증명과정에서 '삼각형의 세 내각이 합의 180'이라는 성질을 사용하고 있기 때문입니다.   대표적인 순환논법의 오류라고 할 수 있습니다.  ( 순환논법의 오류는 이런 것만을 이야기하는 것은 아니지만 이에 대한 더 자세한 이야기는 이 글의 주제는 아니므로 줄입니다. )

 

그럼 어떻게 해야.   '바른' 증명을 하려면 다음과 같이 해야 합니다.



실제로 어떤 성질을 '증명'하는 방법에서 '교과서'에 없는 증명방법은 이런 '오류'를 갖고 있을 가능성은 꽤 많습니다.   말하자면 조금 '복잡하고 까다롭게' 보여도 교과서에 그런 방법으로 증명하는 이유가 사실 있습니다.  ( 이것은 증명이 아닌 다른 내용도 마찬가지이긴 합니다.   교과서의 '서술'은 그렇게 '서술'하는 이유가 있습니다.   더 나아가서 가령 '기하학적 확률'이 교과과정이 아닌 '이유'도 있습니다.  )

 

그런데 이런 '순환논법의 오류'는 가령 '서술형 시험'이 아니면 큰 문제가 되는 경우는 적습니다.  심지어 서술형 시험이라고 해도, 문제에서 제시하지 않는 이상 - 순환논법을 적용하지 말 것을 - 어지간하면 큰 감점은 할 것 같지는 않습니다.  ( 이것은 장담할 수는 없긴 합니다.  논술 '채점'에 대해서 잘 안다고 자부할 수는 없으니까.   '대학에서 강의하는 분'들은 매우 중요하게 생각할 것이 또 분명하긴 해서... 논술 채점의 정서인 '부모의 마음으로 채점한다' ( 이것은 모대학이 논술채점에 대해서 직접 밝힌 표현입니다. ) 와 '수학적 과정의 바름'을 채점한다가 정면충돌하는 것이긴 해서... )  '객관식'에서는 이를 변별할 방법은 '맞히는 방법의 차이' 정도일 수밖에 없습니다.   그리고 그 정도의 차이를 '중요하게' 생각하지는 않을 것은 분명합니다.  왜냐하면 순환논법의 오류는 '공리적인 성격'을 포함하게 되며, 우리나라 고등학교 과정까지의 교과과정의 원칙은 '공리적인 체계'를 강조하지 않는 것이기 때문입니다.

 

그리고 결정적으로 '순환논법의 오류'는 '수학적 훈련'에 의해서 해결할 수 있는 성질도 아닙니다.   그것은 '지식'에 의해서 해결해야 하는 경우가 많습니다.   그렇기 때문에, 가령 '페르마 대정리'를 누가 증명했다.  이렇게 할 때, 그것이 증명이라고 인정받으러면 '장기간의 검토과정'을 거쳐야 하는 이유의 하나이기도 하고, 이런 식으로 결국 다른 논리적 결함이 있는 것은 아닌데, '순환논법의 오류'였다고 '기각된 증명'은 매우 많습니다.  심지어 최근에 어떤 분이 질문을 해서 알게 되었는데,  개정교과과정에서 '정적분'편은 교과서에 서술된 내용 자체가 '순환논법의 오류'를 갖는 서술도 있었습니다.   ( 개인적으로는 그런 서술의 이유는 짐작할 수는 있을 듯 하여, 나름 생각하는대로 답변은 해드렸고,  일리 있는 수정 - 개인적 의견은 그럼에도 동의하지 않는다이긴 합니다만 - 이라고 생각은 합니다. )

 

아마도 내가 과거에 강의를 할 때, 이런 의미에서 '순환논법의 오류'를 많이 범했을 수도 있습니다.   그래도 그런 점에 신경쓴다고 하는 편이고, 사실 교과서에 없는 '어떤 방법'은 나름대로 철저하게 검증해보는 편이어서, 그래도 꽤 '선방'하긴 했을 것이라고 자부는 하지만.

 

하지만, 2020년 수능 20번의 '동영상 풀이'를 보면서 내가 느낀 약간 '암울함'은 이것과 명백히 다른 성격이었습니다.   역시 '수학적으로 어려운 내용'이고, 체화시키기 힘든 것임은 분명합니다.   그럼에도 불구하고,  이해될 수 있는 '말실수' - 사람이 쓰는 글도 조목 조목 따져보면 무언가 잘못이 있을 수밖에 없습니다.  하물려 말로 진행되는 동영상 풀이는 더욱 그럴 부분이 생길 수밖에 없을 것이고, 그런 엄격한 기준으로 과거 내 동영상 강이를 검증한다면 아마도 꽤 많은 오류, 비약, 잘못 등을 찾을 수 있을 것이라고 생각은 합니다.   그런데 2020년 수능 20번과 관련한 수학적 사고는 그런 양해될 수 있는 수준과 내용이 아닙니다.

 

문제는 전편의 글에서 소개했으니까, 이제 이와 관련된 '기출문제'를 몇가지 소개를 해보겠습니다.











 



 

2020년 수능 나형 20번과 위의 문제들은 어떤 공통점과 차이점이 있을까요?  그리고 거의 모든 '동영상 풀이' - 인터넷에서 볼 수 있는 -는 어떤 문제점을 갖고 있을까요?

 

 

 
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