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산정무한 2017-03-28T12:25:30+00:00

[ 질문/답변 ] 2019 수능 수학 나형 20번, 그리고 '기하적 해결방법'에 대하여

작성자
강필
작성일
2018-12-25 06:26
조회
1044
일단 이 글은 '수험생'은 읽을 필요는 없습니다.    수험생은 알 필요가 전혀 없는 내용을 다루는 것입니다.   '가르치는 분'들을 대상으로 하는 글임을 미리 밝혀둡니다.

평가원 리포트에 대한 질문이 있었습니다.    본래 이런 수준은 '독자'에게 맡겨두는 것이 기본적인 생각이었는데,  내년의 수놀음 '계획'과 관련하여 고민을 하는 중인데,  '수능 수학' 컨텐트에 대한 '토론'과 같은 내용을 수놀음에서 본격적으로 진행하는 것은 어떨까 생각하고 있습니다.   지금은 관심있는 분들과 주로 '오프라인'으로 교류하는 정도인데,  온라인에서,  '시험을 대비하는 시험공부 성격이 아니라',  문제 자체에 대한 토론이라면 수놀음의 기본취지를 흐리지 않을 수 있고 게다가 현실적으로 현재의 수놀음 커뮤니티의 주된 구성원의 관심은 아무래도 '가르치는 문제'에 있기도 하고.

그래서 일종의 '시범적인 성격'이라고 할까,  그런 의미도 겸할 겸,  질문한 분이 매우 구체적인 수준의 질문을 하고 있는데,  답변에 '그림'이 좀 필요한 것도 있고 해서,  겸사 겸사 관련된 글을 써 볼까 합니다.    질문 내용은 관련 링크를 참조하면 될 것 같습니다.

2019 수능 수학 나형 20번 풀이

먼저 첫번째 생각해볼 것은  우리가 어떤 문제를 해결할 때, '기하학적 방법'으로.    이렇게 말할 때, 그것은 과연 어떤 수준과 범위일까 하는 점입니다.    질문한 분은 글에서 다음과 같이 말하고 있습니다.

" 제가 이 풀이의 실마리조차 발견하지 못한 이유 중 하나가 '좌표를 절대로 써서는 안된다'는 생각때문이었던 것  "

이 표현에서 '좌표를 절대로 쓰지 않는다'는 의미는 문맥으로 해석하면,  '대수적 계산'은 전혀 하지 않는다.  이런 정도로 읽어야 할 듯 합니다.   왜냐하면 엄밀한 의미에서 '좌표'를 쓴다는 것은 말 그대로 x좌표와 y좌표를 '대수적으로 계산하는 것'이기 때문에,  아마도 이런 의미로 쓰지는 않은 듯 합니다.   즉,  질문한 분이 말하고 싶은 바는 '계산이 전혀 없는 어떤 기하적 성질'을 말하는 듯 합니다.   그래서 이렇게 말하고 있습니다.

"  y=k/x의에서 k의 변화에 따라 그려지는 그래프의 양상만으로 알 수 있는 방법은 없는게  "

우선 답을 드리면,  '당연히' 있습니다.    그런데 어떤 방법인가를 '논증'하는 '방법'은 나도 그렇다면 고민해보아야 할 듯 합니다.   왜냐하면 원칙적으로 '계산'을 전혀 하지 않는 '기하적 풀이'란 그 자체가 '작도'입니다.   즉 유명한 유클리드 도구인 (1) 눈금없는 자 (2) 접히는 컴파스 를 이용하여 이 문제를 해결할 '작도'법을 생각해야 합니다.    그런데 이에 관련된 '공부'가 나는 많이 부족합니다.   특히 유리함수의 '그래프'를 '유클리드 도구'를 이용하여 작도하려면 사실 유리함수가 '쌍곡선'이라고 하는 '원뿔곡선'의 정의에 따라야 합니다.   그런데 '원뿔곡선'을 이런 의미에서 순수하게 기하적 논증체계로 공부해본 적은 없습니다.    뉴튼의 프린키피아 저작에 나오는 '이차곡선'관련 내용도 이해안된 부분이 많았던 것으로 기억되고, 원뿔곡선에 대한 '대학 논술 범위' 정도의 정의와 이해 ( 기하적인 성질 ) 정도가 내가 아는 정도입니다.   그런데 이런 수준에서는 '계산'이 필요합니다.   가령 '쌍곡선의 '정의'를 이용하려면 '두 초점에서의 거리의 차가 일정'하기 때문에 '뺄셈' 이라고 하는 '대수적 계산'이 필요합니다.

사실, 나는 '기하적 방법'이라는 어떤 '해결 방법'에 대한 오해가 좀 심하다고 느끼는 편입니다.   이것은 좀 심하게 말하면 수능 문제의 '출제의도'를 해석한다는 명분으로 가령 '이 문제는 계산하라고 한 것이 아니라 기하적으로 풀라는 거야'  뭐 이런 식의 '분석'이 판을 치고 있는 풍토와도 무관하지는 않을 것입니다.    '직각좌표계'를 도입하여 계산하는 방법이 아닌 '기하적인 성질'을 이용하는 방법이 '좁은 의미의 출제의도'인 경우야 있을 수 있습니다.   그런데 일반적으로 '직각좌표계'를 도입하여 계산하는 방법이 아닌 가령 '벡터'를 이용하여 '계산'하는 방법은 '기하문제를 대수적으로 해결하는 것'이며,  평면 기하 또는 공간 기하의 어떤 성질을 이용하는 것은 '유클리드 도구를 이용한 작도의 과정'을 '어떤 성질'을 이용하여 '생략'하고 '대수적 계산'으로 해결하는 것입니다.    즉,  '엄밀히' 말하면 시험에서 수학 문제를 해결하는 유일한 방법은 '대수적'으로 해결하는 것입니다.  ( 면접 시험이 아닌한 작도 능력을 평가할 수도 없거니와 '작도'를 배우는 것은 '시험'을 위해서 배우는 것도 아닙니다. )

그래서 '특히'  '기하적 성질'은 '교과과정'에 대한 이해가 중요합니다.   왜냐하면 '작도를 생략할 수 있는 수준과 범위'는 교과과정이 아니라면 '평가'에서 기준을 세울 수가 없기 때문입니다.    개인적으로 평가원이 감탄스러운 점은 이런 점에서 '정확하다'는 것입니다.   정말로 놀랄만큼 정확합니다.    무슨 이런 저런 '교과서에 없는 성질'을 '기출문제에서 출제했다는 핑계로' - 사실 이런 류의 거의 모든 핑계는 내가 아는 범위에서는 솔직히 거의 다 엉터리입니다. -  학생들에게 '알아두어야 한다' 고 일종의 '사기치는' ( 주관적 의도야 아니긴 하겠으나 ) 어떤 집단'들'의 수준과 평가원의 수준을 비교하는 것 자체가 내가 보기에는 평가원의 '굴욕'일 정도로.     가령 이번 수능에서 이런 식입니다.

어떤 사람이 가형 18번을 '닮은 도형'에 관련된 '각의 이등분선의 성질'을 이용하여 풀었다고 합시다.    그리고 그 성질을 '강조'한다고 합시다.   오래 되어서 기억이 정확하지는 않았는데,  누군가 '이런 내용의 출제 가능성을 이야기했다'는 식으로 했던 것도 같은데...  그리고 또 가형 19번을 '닮음 도형'을 이용하거나,  무슨 밑변 길이의 비가 면적의 비라거나 ( 역시 중점과 내분점은 구별되어야 하는 용어입니다. ) 이런 식으로 해결하고.   그런데 나형 20번은 '문제가 요구하는 기하적 성질'을 꿈에도 생각못하고 있다면 -  확인해보면 알겠지만 사실 이런 분들이 정말로 많을 것입니다. -  사실 그 분은 '수능 출제의도'나 '분석'을 논할 기본적인 '능력이나 관점'은 없다고 해도 과언이 아닙니다.   솔직히 그냥 '수학이 무엇인지 전혀 모른다'고 해도 크게 틀린 말이 아니라고 해도 '억울하다'고 할 수는 없을 것입니다.

'기학적 성질'을 이용한다는 것의 '수학적 의미'를 정확하게 이해한다면 '중점'과 '내분점'은 '다른' 것이며, '합동'과 '닮음'은 '다른 것'이며,  합동인 도형에서 성립하는 성질과 닯음도형에서 성립하는 성질의 교과과정의 수준과 범위의 성격은 '다른 것'임을 충분히 이해하고 있어야 합니다.   그런데 솔직히 이런 수준에서 볼때,  '기하적 성질을 이용한다'는 것의 핵심적인 본질이 이런 내용인지도 적어도 내가 인강을 통해 본 분들은 거의 모르는 분위기였습니다.

일단 문제로 돌아가서 나형 20번에 연관된 이야기를 정리를 해보면,

(1) 유리함수의 그래프 개형에서 k값의 변화에 따른 변화를 좌표평면에서 '표현'하는 것은 반드시 필요합니다.   그런데 이 '표현'은 '좌표의 표현과 변화'를 의미하는 것입니다.   따라서 질문하신 분이 '좌표 개념이 전혀 없는 어떤 기하적 풀이'를 생각한다면 그런 방법은 있을 수 없다는 것입니다.

(2) 일단 (1)를 이용하여 표현하면 이제는 '좌표평면'을 제거할 수 있습니다.  왜냐하면 삼각형, 평행선 같은 기하적인 대상으로 문제가 재구성되기 때문입니다.   여기서부터는 이제 '좌표' 계산은 필요하지 않습니다.   그런데  '대수적 계산'이 전혀 없다.  이것은 또 성립할 수 없습니다.   왜냐하면 예를 들어 1:k 이렇게 하면 이것도 대수적 계산이기 때문입니다.

(3) 이제 질문한 것에 해당하는 답은 드릴 차례이긴 합니다.   아마도 질문하신 분은 다음의 답을 원했을 것이라고는 봅니다.  이 문제를 해결하는데 필요한 '기하적 성질'이 무엇이냐?    그림 하나를 첨부하는 정도로 답을 대신하겠습니다.   이 '다음'은 그런 고민을 할 정도면 충분할 것이라고 봅니다.



표현을 보면 알겠지만,  교과서 '본문'에 있는 내용입니다.   중학교 2학년 교과서이며,  사실 '닮음'을 배울때 '닯음'의 '정의'와 삼각형의 '닮음 조건' 뒤에 가장 먼저 나오는 성질입니다.   -  물론 이 성질과 20번이 요구하는 수준은 약간의 차이 ( 역관계를 포함한 )은 있긴 합니다.   그리고 이 이야기까지 하면 '기하'에 대하여 이것 저것 해야 할 이야기가 많아서 생략합니다. -

유리함수의 그래프의 성질 ( 직접 출제범위 ) + 닮음의 활용에서 가장 기본적이고 중요한 성질 ( 간접 출제범위 )   나형 20번 문제가 이런 '출제'임을 꿈에도 생각못하는 듯한 분들이 ( 해설을 들어보면 이런 표현이 과한 것은 아닐 것입니다. )  '다른 문제'를 풀 때 - 가령 가형 18번이나 19번 -  이용하는 '기하적 성질'이 교과서에서 어떤 수준과 내용인지 직접 찾아보면 아마도 뭐라 그럴까 저와 같은, 사실 좀 '참담한',  그리고 학생들에게게 '죄송스러운' 그런 기분이 들 수도 있을 것입니다.    뭐 아무튼 문제를 맞히면 그만이지.  이러면 할 말은 없습니다.   그런데 그 정도의 실력으로 '간접 출제범위'의 수준과 성격도 '완벽한'  평가원을 '해석'한다?  좀 심한 말로 '지나가던 뭐도 웃을 일'일 뿐입니다.  ( 가형 19번 역시 평가원의 '의도'는 정확하고 분명하고 간결합니다.  필요한 '대수적 계산'은 암산으로 가능한. 그리고 뭐 무슨 닯음 이런 성질이 전혀 필요하지도 않고 )

이 이상은 자꾸 떠올리니 개인적으로 좀 괴롭습니다.(???)  본래 그림을 좀 그려가면서 이런 저런 이야기를 할까 했는데....   이 정도로 답변을 마무리하도록 하겠습니다.  나머지는 해결할 수 있을 것입니다.  그리고 이른바 '기하적 해결'을 바라보는 관점 자체도.
전체 2

  • 2018-12-25 06:41
    한가지만 덧붙입니다. 그래서 ㄴ)에서 '점선 보조선'을 발견하기 어려운 경우에 왜 k=2일때의 발견적 과정이 중요한지도 이해할 것입니다. 그리고 평가원의 '치밀함'. 그리고 문제의 '아름다움'. '수학문제를 해결한다는 것이 정작 무엇이 핵심인가?'에 대한 평가원의 생각도 이해할 수 있을 것입니다. 그리고 나는 갖추기 힘든 '성실하게 문제를 해결하는 학생'들은 문제를 맞히도록 하는 배려와 수학문제 해결 방법에 대한 정확한 평가원의 태도까지.

    그러니 사실 내가 보기에는 인강강사들도 그냥 '성실하게' 문제를 푸는것이 그나마 '평가원의 출제의도'를 따르는 길입니다. 무슨 출제의도 분석, 해석 운운하지 말고.

  • 2019-01-03 19:13
    좋은 답변으로 생각을 다듬을 수 있게 해주셔서 감사합니다. 마지막 줄을 읽으니 괜한 질문으로 괴롭게 해드린 것 같아 저도 괴롭네요ㅜㅜ
    늦었지만, 새해 복 많이 받으세요!