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산정무한 2017-03-28T12:25:30+00:00

평가원 리포트[9] - 2019 수능 수학나형 20번(2)

작성자
강필
작성일
2018-12-08 11:27
조회
1227
일단 나형 20번 문제의 '풀이'를 한번 써 보도록 하겠습니다.   얼마나 '간결'하고,  '아름다움'까지 느낄 수 있는지 여러분도 한번 생각해보길 바랍니다.



서술형 답안이라면 ㄴ)에서 기울기가 왜 평행하겨 변하지는지를 유리함수의 그래프 성질에서 |k|값의 변화에 대해서 설명하고,  ㄷ)에서는 직선 BP의 기울기가 k 이고,  0<k<1일때, k>1일 때 그래프의 변화에 대해서 설명하는 '그림'(그래프) 정도 추가하면 될 것입니다.   즉 이 문제의 답은 서술형으로 작성한다고 해도,   많은 분량은 요구하지 않습니다.    여기서는 그것을 위한 그림만 간단히 소개하는 정도로 하겠습니다.

ㄴ) 을 판정하는데 필요한 그림  

ㄷ)을 판정하는데 필요한 그림 

그림만 보면 ㄴ)이 더 '복잡한 것' 아닌가?  라고 생각할 수도 있습니다.    사실 개인적으로는 이 문제를 풀면서 든 의아함은 오히려 이런 것이었습니다.   ㄴ)이 더 복잡해보이는데 - '보조선'이 필요하기도 하고 ( 기울기 -3인 선분과 기울기 3인 선분 ) -  그런데 평가의 관점에서 생각해보면 ㄴ)을 이와 같이 판정하는 것은 '시험을 볼 때'는 좀 어려울 수도 있다고 생각하면,  '계산'하여 해결하는 것이 가능해야 할 것입니다.    그리고 사실 ㄷ)을 판정함에 있어서 사용하는 성질은 ㄴ)을 판정하는 과정에서 자연스럽게 얻어질 수 있는 성질들임을 알 수 있습니다.    그래서 ㄴ)과 ㄷ)이 순서도 적절하다고 생각됩니다.

해설을 보면서 이해가 안되었던 점은 이 문제를 '이렇게 풀어야 한다'는 것을 그야말로 '노골적으로 드러내고' 있지만,  아무도 이런 것에 주목하지 않는다는 사실입니다.   가령 ㄴ)에서 왜 을 주었는지 전혀 모르는 듯 했습니다.   이미 문제의 발문에서 준 조건임에도 불구하고 합답형 ㄴ)에 다시 한번 이를 명시한 '평가원의 의도'는 철저히 무시되고 있었습니다.    심지어 어떤 분은 ㄷ)을 판정할 때 '주의할 점' 때문이라는 이야기까지.   - ㄷ)을 판정할 때 주의할 점을 왜 ㄴ)에서 주는지도 생각안해보는 것일까요? -  '모든' 분들의 해설에 의하면 ㄴ)은 '등식'의 계산에 불과합니다.   따라서 k의 범위는 그런 계산에 아무런 영향을 주지 않습니다.

사실 합답형 ㄴ)이 물어보는 것은 위의 그림에서 '점선의 기울기'의 합을 배경으로 하는 것입니다.   그것은 무엇일까요?  네.  k 값이 의 범위에서  작아지면, 즉  문제에서 주어진 기울기는 점선의 기울기에 수렴합니다.  ( -3과 3)   즉 평가원의 의도한 것은 우선 일 경우 합답형 ㄴ)이 참임을 확인하고 - 이 계산은 '암산' 수준일 뿐입니다.  -  이것을 인 경우에 '일반화'할 수 있는가?를 묻는 것입니다.    합답형 ㄱ)이 '결정적 역할'을 하며,  주어진 k 값의 범위는 '일반화'할 수 있는 조건을 의미하는 것입니다.    이때 어렵다면 이번에는  일 경우 한번 더 '발견적'으로 확인해볼 수도 있도록 ( 아무래도 자연수일 경우가 간단하므로 ) 평행이동도 +3정도 한 것입니다.   물론 문제의 핵심 단서인 그래프의 '보조선' ( 점선의 기울기 )을 찾으면 좋고,  그것이 힘들다고 해도 '일반적인 연산' ( 좌표를 구해서 계산해도 ㄴ)은 전혀 복잡하지 않습니다. ) 으로 검증해도 좋고.

합답형 ㄴ)을 설령 '무식한'  - 그런데 '성실한' - 계산으로 해결했다고 해도,  그 '계산 결과'의 의미를 생각할 수 있어야 합니다.   그러면 아마도 ㄷ)은 이제는 간단하게 해결할 수 있었을 것입니다.    그리고 합답형 ㄴ)에서 k값의 변화에 따른 그래프의 변화에 대한 추론에 실패하여 결국 '계산'해서 문제를 풀었다고 해도, 그 '실패한 과정'에서도 얻을 수 있는 정도에서 ㄷ)을 해결하기 위한 거의 모든 단서 (  원점에서 점점 멀어져간다.   BP의 기울기는 k 이다.  사다리꼴 넓이를 구할 때 직사각형의 넓이에서 삼각형의 넓이를 빼면 된다 )는 찾을 수 있습니다.

교과서의 유리함수에서 이와 관련된 내용을 간단히 인용해보겠습니다.



개인적으로는 솔직히 이 문제의 해설을 보는 것은 일종의 '정신고문' 같은 면도 있을 정도였습니다.    대부분은 이 문제와 유리함수의 그래프의 성질의 연관을 '점근선의 교점에 대한 점대칭' 정도라고 보고 있습니다.   그런데 평가원은 만약에 점근선과 관련된 어떤  것을 묻고 싶다면, '친절하게' - 그것도 20번에서 - 그래프를 그려주지도 않습니다.  ( 유리함수 그래프를 그리면서 점근선을 표시안할 수도 없기에 ) .  가령 이렇게 출제합니다.



합답형 ㄱ)은 중학교 1학년 이나 풀 만한 '문자와 식' 문제가 되어 버리고,  합답형 ㄴ)은 유리식의 연산, 합답형 ㄷ)은 갑자기 이차함수 문제가 되어 버리고,  중학생이 풀만한 '무리수' 문제가 되어 버립니다.   한 마디로 평가원'표' 문항이 아니었다면 '엄청 욕' 먹었을 것입니다.   혹시 평가원 문항이어도 욕하고 있을 수도 있습니다.

합답형 ㄴ)에 왜 k의 범위가 주어졌는지,  합답형 ㄷ)은 왜 기울기가 얼마냐?  이렇게 묻고 있는 것이 아닌지는 철저히 무시됩니다.   문제의 답을 맞히기는 하지만,  사실은 '예시풀이'라고 하기에도 너무 모자란 수준입니다.   면접 '평가'였다면 면접관이 '혹독한 질문'을 감내해야 합니다.  가령 합답형 ㄷ)이 라고 물어보지 않은 이유는 뭐라고 생각하는가? 등등

'코메디' 같은 장면도 많았습니다.   어떤 분은 점근선의 교점에 대한 대칭이 아닌 유리함수의 성질이라고 하면서 식을 써가면서 설명을 했습니다.   ( 사실 엄밀하게는 이 표현도 틀린 것이긴 하지만 이런 부분이야 뭐 그럴 수는 있다고 봅니다.  수학적 엄밀성이 훈련되지 않은 사람이라면 이런 틀림이야 뭐 있을 수도 있고.  중고등과정에서는 그런 공리적 엄밀성은 중요한 것은 아니긴 하니까 )  그래도 뭔가 기대감이 들게 하더니, 정작 그 성질은 고작 '좌표'를 계산할 때나 쓴다거나,   그냥 암산으로  뻔한 넓이 계산 할 때 쓰거나,  합답형 ㄴ)을 판정하면서 '닮음' 어쩌구 해서 공연히 기대감을 높이더니,  갑자기 '좌표 계산'과 같은 계산을 하거나.    사실 이런 코메디는 그냥 수학을 못하기 때문이라고 할 수밖에 없습니다.     차라리 성실하게 계산하면서 문제를 푸는 분들은 '우직함'이라도 있었습니다.   문제의 분석이나 의도에 대해서는 전혀 모르는 듯은 하지만, 꿋꿋하게 성실하게 문제를 풀고 있었습니다.   그런데 '잘 모르면' 그냥 그렇게 하면 되고,  또 실제로 '계산'해서 풀면서 그냥 '아무말이나' ( 사실 문제를 풀어가는 과정의 맥락이나 필연성,  그런 개념이 어떤 의미인지는 전혀 모르면서 ) 하면 '뭔가 있어 보인다'고 생각하는 듯 했습니다.

사실 모든 기출문제를 정확하게 분석할 수는 없을 것입니다.   개인적으로는 대부분은 '평가원의 생각'을 알 수있다고 자부는 하지만,  나 역시 언제든 정확하게 분석하지 못하는 문항이 있을 것입니다.   그래서 이 한 문제로 뭐라고 하는 것은 조금 과할 수도 있긴 합니다.   그런데 단지 한 문제라고 하기에는 해설이 보여주는 '평가원에 대한, 기출문제에 대한, 어떤 수학적 개념에 대한,  그리고 사실 수학을 하는 방법에 대한' 몰이해는 너무 심합니다.   그리고 불행하게도 제가 '기대한' 해설은, 아니 그 정도는 아니어도 '최소한'  합답형 ㄷ)을 판정할 때만이라도 '유리함수'의 그래프의 성질을 설명하는, 그런 해설조차 '전혀' 없었습니다.

근본적인 이유는 사실 '수학'이 무엇이고, 올바른 '수학적 활동'-관찰,조사와 같은 발견적 과정의 중요성을 포함하여 - 에 대하여 잘 모르는 것 때문입니다.   그런데 그런 사정을 고려한다고 해도,  '합답형 문제'에 대한 몰이해( 보는 것처럼 이 문제에서 합답형 ㄱ)은 ㄴ)과 ㄷ)의 판정에 매우 결정적인역할을 하는 것입니다.  ) ,  문제의 단서들을 철저히 무시하는 '무모한 배짱' 은 어떻게 해석해ㅑ 할지 난감합니다.    '해설'을 하는 것이 아니라 '예시풀이'를 할 뿐이라고 해도,  그런 풀이를 하고 나서 '반성의 과정'도 전혀 없다는 말인지?

사실 다른 문항들도 막상 보면 할말이 많을 수도 있을 것 같다.  이런 생각이 들었습니다.   그런데 그런 수준의 문제들이야 뭐 그려러니 할 수 있습니다.   3점 문항 '분석'하지 않는다고 탓 할 수는 없다고 봅니다.   그런데 최소한 이런 정도의 문제는  '출제하는 사람'들에 대해서 최소한의 예의가 있다면 아무런 분석도 없다면 좀 너무한 것 아닌가?  이런 생각을 합니다.   아니면 '문제를 맞히면 되지 무슨 출제의도냐?'  이런 것이라면 그렇게 '말해야' 합니다.    이런 문항을 '분석할 능력'이 없다고 하기에는 너무도 서글픈 현실입니다.   적어도 내가 본 '인강'(일부 유튜브강의를 포함해서)에는 없었습니다.  그 모든 분들이 사실 '수학적인 수준'이 그 정도이다.   그 분들은 그냥 '성실한 계산'에 의한 '예제풀이'를 보여주는 정도가 최선이다.   이렇게 결론을 내리기에는 다른 모든 것을 떠나서 그냥 '너무 서글픈' 것이라서.

해설 강의 전체에 대한 의견과 개인적인 의견을 전제로 인강을 그럼 어떻게 활용해야 할지에대해서는 다음 글로 쓰겠습니다.
전체 4

  • 2018-12-13 06:09
    선생님, ㄴ에 대해서 질문이 있습니다. A'B'의 기울기가 -3과 평행하게 변한다는 것, A'P'의 기울기가 3과 평행하게 변한다는 것은 그래프만 그려서는(정확히는, k에 따라 달라지는 유리함수의 그래프만 그려서는) 정확히 판정할 수 없는 것 같습니다. 글을 여러번 읽어 본 바에 따르면 k=1일 때의 결과, 거기에 더해 k=2일 때의 결과, 즉 두 번에 의하면 계속 -3, 3이 나오는 것을 '발견적으로' 알 수 있고, 이를 통해 일반화하는 것이 출제의도라고 말씀하신 듯 합니다. 그런데 이 두 사례에서 얻은 결과를 k의 전체 범위에 걸쳐 일반화하기 위해서는 수식이 반드시 필요하고, 보조선(점선)만으로는 ㄴ이 성립할것만 같은 강한 의심까지는 할 수 있더라도, 절대적으로 확신할 수는 없는 것 같습니다. 저같은 경우는 말씀하신 차선의 풀이(ㄴ을 무식하고 성실하게 한 후 의미를 찾아 ㄷ에 적용)을 시험 당일 풀이하여 올렸었는데, 좌표 도입 및 연산을 통한 검증 없이 보조선 두개만으로 어떻게 -3과 3이 불변하는 값임을 파악할 수 있는지 아무리 고민해도 알 수가 없어 염치불구하고 질문을 남깁니다.

    • 2018-12-13 22:25
      보조선이 왜 필요한가를 생각해보면 될 것입니다.

      먼저 0<k<3이라고 했는데, k값이 변할 때 그래프위의 점은 x=1 , x= -1 , y=-3 이 세 직선위를 움직입니다. 이때 점근선(x축과 y축에서)을 기준으로 해서 - (1,0),(-1,0),(0,-3)을 기준으로 해서 k=1일때의 점과 k일때의 비를 생각해보면 1:k임을 알 수 있을 것입니다. 아마 이 정도면 그 다음은 마무리할 수 있을 듯.

      ㄴ)은 보조선을 찾는 관점은 쉽지는 않을 것이라고는 ( k값의 변화에 따른 점의 이동의 관찰을 위해서 0<k<3을 주기는 했으나 ) 판단은 했을 것입니다. 그래서 이 경우에는 '계산'을 통해서 검증할 수 있는 여지를 남겨둔 것이고. 물론 ㄷ)도 계산에 의한 풀이 ( 실제 넓이를 k의 함수로 모두 구하는 )도 '허용'한다고 보아야 할 것이고.

      • 2018-12-21 15:29
        감사합니다 선생님. 적어주신 댓글을 보니 풀이방법이 이해가 되고, 글에서 말씀하신 ㄱ의 역할이 훨씬 잘 와닿습니다. 글에서 말씀하신대로, 단순 예시풀이의 수준을 넘어선 '해설'이라면 제시하신 방법을 직간접적으로라도 제시해야만 하는 것 같습니다.

        다만 궁금한 것은, 여전히 1:k의 비율을 밝히는 것은 기하학적 성질을 이용한 것이 아니라, 좌표를 통한 연산이 아닌가 싶습니다. 간단한 수준의 좌표연산을 허용한 상황이라면 1:k를 발견했을 수도 있을 것 같은데, 아마 긴 고민에도 불구하고 제가 이 풀이의 실마리조차 발견하지 못한 이유 중 하나가 '좌표를 절대로 써서는 안된다'는 생각때문이었던 것 같습니다.



        제가 지금까지 이 문제와 선생님의 풀이에 에 대해 이해한 바는 이렇습니다.
        '1:k 풀이의 타당성은 납득이 되고, 이 풀이가 최선이지만, 좌표를 이용한 암산 수준의 계산은 여전히 필요하다'
        제가 이해한게 맞다면, y=k/x의에서 k의 변화에 따라 그려지는 그래프의 양상만으로 알 수 있는 방법은 없는게 맞을까요? 혹시 제가 알지 못하는 특별한 성질이 있거나, 간단한 내용임에도 실력이 부족하여 간과하고 있는 내용이 있다면 조언 부탁드립니다.

        • 2018-12-22 02:25
          그림들이 필요할 듯도 해서 시간 좀 될때, 따로 게시글로 이 문제의 질문 내용을 포함하여 좀 더 '깊이' 생각해볼 수 있는 글을 쓰겠습니다.