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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

'보편적인' 수학적 사고력[6] - 과정과 역과정[2]

작성자
강필
작성일
2018-12-05 10:08
조회
1261
 

과정과 역과정에 대한 가장 기본적인 개념은 명제와 명제의 역입니다.    특히 이 개념은 '일상적으로 오개념이 만들어질 수밖에 없는 성격'을 갖고 있기 때문에 수학적 사고에서 가장 중요한 것이라고 할 수 있습니다.   무슨 말인가?

 

" 사람은 동물이다. "   일상적인 언어 생활에서 이 문장은 '참'인 문장입니다.     그런데 " 동물은 사람이다. " 라고 표현하면 이 문장은 '거짓'인 문장입니다.   이것을 수학적인 개념으로 표현하면 " 사람'이면' 동물이다."  는  참이지만 " 동물'이면' 사람이다."는 거짓이기 때문입니다.   우리는 이 두 문장의 참, 거짓은  '직관적으로' 알 수 있습니다.   그런데 이 문장 구조에서 '사람'과 '동물'의 자리에 수학적 개념과 표현을 집어 넣으면 이번에는 참과 거짓을 판정하는 것이 쉽지 않게 됩니다.   왜냐하면 '포한관계'가 직관적으로 분명하게 드러나지 않는 경우가 많고,  주격조사 ( 지금문장에서는 "은")는 수학적 표현으로 "등호"와 교환되는 것이 아니기 때문입니다.    물론 "자연수는 유리수이다." 라고 하면 참인 문장이며, "유리수는 자연수이다."라고 하면 거짓인 문장임은 쉽게 알 수 있습니다.    왜냐하면 이 정도의 수 개념은 체화되어 있기 때문입니다.

 

일반적으로 어떤 수학문제를 풀어가는 과정은 문제에서 주어진 식과 상황을 '문제가 묻고 있는 것'을 구하기 위하여 계속 '변형해가는 어떤 과정'입니다.   그런데 이 '과정'과 '역과정'은 이렇듯 심지어 '참, 거짓'이 일치하지 않는 경우가 많습니다.    가령 등식의 기본성질인

 



의 경우 이 명제는 참이지만 '역'은 참이 아닙니다.   따라서 어떤 식을 변형함에 있어서 '나눌때'는 이 명제의 역은 참이 아님을 알고 있지 못하면 문제를 틀리게 됩니다.

 

물론 이런 모든 상황을 내용별로 모두 '정리'해두는 방식으로,  즉 '지식 위주'로 문제점을 해결할 수는 있습니다.   그런데 당연히 이런 방법으로는 한계가 있습니다.   그래서 주어진 상황이 조금만 달라져도,  예를 들어 등식의 기본성질과 관련한 내용도

 

 정도만 되어도  틀리게 되는 경우가 생기고, 더 나아가서

과 같은 '부등식'이 되면,  틀릴 가능성은 더 커지고

게다가 이렇게 직접적으로 부등식이 주어지면 그래도 '그런 유형의 형태'에 익숙해져있어서 - 그래서 사실 '지식' 위주로 해결하는 것입니다. -  그래도 '무엇을 주의해야 하는지'를 알아차릴 가능성이 있지만,

다른 개념, 공식 등과 '엮어서' 출제되면  이번에는 그런 상황에서는 기본을 망각하게 되는 경우가 많아집니다.   왜냐하면 '보편적인 사고'의 입장에서 과정과 역과정의 '차이'가 '체화'되어 있지 못하기 때문입니다.

 

전의 글에서 '필요조건부터 구한다'는 것은 수학적 사고력의 가장 기본이라고 했는데,  이때 '필요조건'은 '답'이 아니라 '답의 후보'임을 명심해야 한다는 것은 일반적으로 주어진 상황의 변형과정이나 참인 명제의 적용과정은  '필요조건'을 구하는 과정인 경우는 생각보다 많습니다.    예를 들어서  어떤 함수  에 대해서,    는 항상 참이지만 그 역은 함수의 성질에 따라서 참이 될 수도 있고,  거짓이 될 수도 있습니다.    문제를 해결하는 과정에서 이렇게 '함수개념'에 해당하는 변형은 매우 일반적인 것입니다.   뿐만 아니라 가령

 



이 문제를 해결하기 위해서 문제에서 주어진 상황을 '수학적인 식'으로 표현한다고 할 때,  대부분 이런 정도를 표현하게 될 것입니다.



그런데 문제에서 주어진 상황과 이렇게 표현한 상황은 '필요충분조건'이 아닙니다.    문제에서 주어진 상황을 A ,  식으로 표현한 상황을 B라고 하면 A이면 B 이지만,  그 역은 참이 아닙니다.   왜냐하면 식으로 표현한 상황에서는 '원 모양의 땅에' 에 해당하는 표현이 없기 때문입니다.   물론 이 문제의 경우에는 식으로 표현한 것으로는 답을 구할 수 없기 때문에 이것을 '알수 있는 계기'로 작용을 합니다.  ( 이것은 수능문제가 갖고 있는 기본적인 특징입니다.  )

 

한가지 예를 더 보면,



과 같은 문제가 있다고 하면, 이 문제를 '이차함수의 그래프 개형'을 이용하여 해결할 수 있습니다.    그러면 조건을 만족하는 이차함수의 개형은 다음과 같을 것입니다.

 



이제 이렇게 그려진 그래프 개형을 보고 함숫값의 어떤 조건을 구할 수 있습니다.   가령 .

 

그런데 이렇게 해서 만들어진 조건은 처음에 주어진 문제의 상황고 필요충분조건이 아닙니다.   이번에는 우선은 그래프 개형을 그릴때 최고차항이 음수일 수도 있음을 고려하지 못했고,   또 최고차항이 양수라고 해도 그래프 개형이 그렇다면 함숫값의 조건은 필요조건일 뿐 필요충분조건이 아닙니다.

 

과정과 역과정에 대한 이해에서 우선 중요한 것은 이것입니다.   어떤 명제와 명제의 역은 다르다.    그리고 어떤 문제를 해결한다는 것은 주어진 상황과 조건을 계속 '변형'하거나,  참인 어떤 명제를 적용하는 '과정'입니다.    그런데 그 '역과정'을 고려하지 못한다면 언제든 최종적으로 얻은 식 또는 상황은 문제에서 주어진 상황과 '동치'가 아닐 수 있습니다.   교과과정에 이런 부분을 여러번 반복하여,  여러 내용영역을 소재로 배우게 되어 있습니다.   그리고 가령 시험문제라면 그렇게 '내용'으로 배운 것을 바탕으로 해서 출제는 하는 것입니다.   하지만 그런 과정에서 '반복'되는 보편적인 수학적 사고력으로 과정과 역과정의 차이가 체화되어 있지 않다면,  비록 '배운 내용'에 해당하는 상황에서도 언제든 틀릴 수 있습니다.   대부분 그런 경우, '실수'로 틀렸다고 생각하고,  다음에는 '실수하지 말자'고 하는 반성으로 그치고 있지만 사실은 '과정과 역과정'에 대한 보편적인 수학적 사고의 부족에서 비롯되는 것입니다.

 

그런데 과정과 역과정은 이런 면에서만 중요한 것이 아닙니다.  일반적으로 과정과 역과정은 '난이도'가 다릅니다.   다음에는 이에대해서 생각해보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 
전체 1

  • 2019-04-11 18:34
    강필님의 글을 읽으면 지금까지 본 수학강사나 교사들보다 더 깊이있는 생각들을 해본 흔적을 느낄 수 있는 것 같습니다. 생각의 차이는 비록 인간의
    생각이라는 한계가 있지만 크게 두 가지로 비롯된다고 생각하는데 그것들은 다양성과 깊이(더 섬세하고 밀도있는 그러한 것)라 생각합니다. 강필님의
    글에서 그 두 가지는 독보적이였습니다. 수학이라는 학문을 바라보는 시각과 입시에서의 수학을 바라보는 시각은 매우 상대적으로 더 정확해보이고 더욱 날카롭게 느껴집니다. 수학이라는 도구로 마음껏 생각하는 방법과 생각할 소재들을 표현해내시는걸 보는건 저에게 매우 유용하고 인상깊었습니다. 감사합니다.