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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

'보편적인' 수학적 사고력[5] - 먼저 필요조건부터 구한다[3]

작성자
강필
작성일
2018-08-04 09:23
조회
721
 



이런 공식을 만들어야 할 상황이라고 가정할 때,  사고방식의 첫번째는 접선은 일단 직선이다.  라고 생각하는 것부터 시작합니다.   말하자면 접선의 방정식의 '필요조건'은 일단 '직선의 방정식'이어야 합니다.    그러면 직선은 한점과 기울기로 결정할 수 있으므로,



라고 둘 수 있습니다.   그런데 문제는 '필요조건'은 그 자체로 답은 아니라는 것입니다.   접선은 특별한 성질을 갖는 직선입니다.    그리고 이때의 특별한 성질은 '접한다'는 것입니다.    그리고 여기서 '미분계수'의 개념을 이용하여 '미분법'을 이용한 접선의 방정식에 관한 기본공식이 나오게 됩니다.

 

이와 같이 어떤 수학적 체계를 전개시키는 과정에서 일단 필요조건부터 구한다는 생각은 매우 기본적인, 그리고 보편적인 사고로 작용을 합니다.   기본공식의 범주라고 할 수는 없지만 - 교과서가 아닌 참고서에는 공식화해서 정리된 경우도 있긴 한데 -  또 한 가지 공식을 더 생각해보겠습니다.

 



문제 자체로만 보면 '발견적 과정'으로 공식을 어느정도 추론할 수 있을 것입니다.   그런데 이 경우도 '일단 필요조건부터'가 기본입니다.   무슨 말인가 하면 대각선은 우선 '직선'입니다.   '직선'의 결정조건은 '두 점'입니다.   따라서 볼록 n각형의 꼭짓점에서 2개를 선택하는 방법의 수만큼 직선을 만들 수 있습니다.   그런데 대각선은 '선분'이며,  볼록n각형의 내부에 있어야 합니다.   그리고 '다각형의 변'은 선분이지만 '대각선'이 아닙니다.   이런 과정을 거쳐서 결국



이라는 공식을 만들어낼 수 있는 것입니다.

 

과거에 내가 강의를 할 때,  '확률'은 일단 '비율'이다.   이런 이야기를 많이 했습니다.  - 수놀음에서도 자주 강조하는 표현이기도 합니다. -   따라서 확률의 연산은 기본적으로 '비율 연산'의 성질을 갖게 됩니다.    가령,

 



이 모두는 '비율'연산의 공통점을 갖는데, 농도,속력,확률은 일단 '비율'이기 때문입니다.

 

그리고 여기서 일단 '필요조건부터 구한다'고 생각할 때,  그것이 '답'에 이르러면 반드시 명심해야 할 내용을 알 수 있습니다.   그것은 '필요조건'은 '필요충분조건'이 아니다.  즉,  '필요조건부터 구한다'는 것은 '답을 찾는 과정'일 뿐, 답 자체는 아니라는 것입니다.

 



주어진 방정식을 보고 '원의 방정식'이다.   이렇게 판단한다면?   네.  문제를 맞힐 수 없습니다.   물론 이 문제의 경우에는 문제를 해결하는 과정에서 원의 방정식이 아님을 알게 되긴 하겠지만 - 그리고 사실 이런 문제가 출제될 가능성은 거의 없지만 -   무슨 말인가?

 

좌표평면에서 원의 방정식은  다음과 같이 표현됩니다.



이제 이 식을 전개하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.



그러면 마지막으로 얻은 식은 '원의 방정식'일까요?  당연히 아닙니다.   정확하게 '원의 방정식'의 '필요조건'일 뿐입니다.   좀 어렵지만 그 이유는 이렇습니다.



정리한다면 처음에 를 보았을 때,  정확하게는 이렇게 생각해야 한다는 것입니다.   '원의 방정식'의 필요조건이다.   그러니 일단 '원의 방정식'의 형태로 변형해보자.   식을 변형하면 다음과 같이 됩니다.

 



일단 실수의 순서쌍을 나타내는 좌표평면에서는 이 방정식이 나타내는 도형은 없습니다.   어떤 참고서에 이런 경우 어쩌구 이렇게 쓰이는 경우가 있는데,  그것은 옳고, 그름을 떠나서 '쓰면 안되는'  ( 물론 그 참고서가 철저하게 추론중심의 공부를 지향하는 경우라면 다르긴 하겠지만,  그리고 그 추론과정에 대한 어떤 안내라도 있으면 모르겠지만.   개인적으로 이것때문에 학창시절에 고생한 생각하면....  뭐 산정무한에 쓰고 있지만 그런 공부가 도움이 된 것은 많긴 하지만 ) 것입니다.    수험생이 아닌 '이과생'이라면 한번 '시행착오'를 경험해보길.   물론 공부한다고 생각하지 말고 '논다'고 생각하고 해야 합니다.   왜냐하면 저 방정식의 해를 '복소수'의 범위에서 찾아야 하고,  이제 복소수의 순서쌍을 어떻게 표현할 지를 고민해야 하기 때문입니다.

 

아무튼 본래의 주제로 돌아가 정리하면, 일단 필요조건부터 구한다고 할 때,  반드시 그것이 '답'(결론)이 되는지를 확인해야 합니다.   접선은 직선이지만 특별한 성질을 갖는 직선이며, 확률은 비율이지만,  특별하게 정의된 비율인 것입니다.   그러면 그것을 어떻게 확인하는가?   그 확인과정은 여러 가지가 있을 수 있습니다.   하지만 보편적인 사고의 관점에서 그 확인과정의 기본은  '과정'과 '역과정'과  연관을 갖습니다.   필요조건 개념 자체가 명제와 명제의 역에서 오는 개념이기 때문입니다.    따라서 일단 필요조건부터 구한다는 내용에 대해서는 이 정도로 살펴보고, 이제 다음편부터는 보편적인 사고력의 관점에서 '과정'과 '역과정'에 대해서 - 명제와 명제의 역에 대해서 -  살펴보도록 하겠습니다.

 

 

 
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