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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

'보편적인' 수학적 사고력[5] - 먼저 필요조건부터 구한다[2]

작성자
강필
작성일
2018-07-22 15:25
조회
919


문제가 답이 있다고 가정한다면 - 문제에 오류가 없다면 - 먼저 필요조건부터 생각해볼 수 있습니다.   다음과 같은 그림을 생각합니다.



반지름이 2인 원과 반지름이 3인 원을 그린 것입니다.  그러면  이므로 조건을 만족하는 점의 후보는 그림과 같이 나타낼 수 있습니다.  평면 전체로는 따라서 2*6 = 12 개라고 할 수 있습니다.   물론 이 12개의 점은 모두 거리가 같으므로 12개 모두가 답이 되거나 아니거나 일 뿐이므로 문제의 오류가 없다면 답은 12입니다.

물론 실제 시험을 볼 때는 이런 방법으로 문제를 해결하는 것은 매우 제한적입니다.     출제과정의 검토 요소 ( 대입해서 문제를 맞히는 것을 최대한 방지하는 )까지 고려하면 시험에서는 '검산의 한 방법' 이상의 의미를 갖기는 어려울 수도 있습니다.    하지만.



이 문제는 간단한 문제이긴 하지만,  실제 시험에서는 시행착오가 많았던 문제입니다.    특히 그래프 개형을 이용하여 접근한 경우에  이차함수의 최고차항이 양수인 경우만 고려한 경우가 많았기 때문에 ( 물론 보기를 잘 보면,  그런 경우 틀리지 않도록 배려된 문제임도 알 수는 있습니다. )  곤란을 겪은 학생도 많았습니다.  그런데 그런 상황에서 '관성' ( 최고차항의 계수가 음수가 될 수도 있음을 고려하지 못하는 상태 )를 벗어나려면 '필요조건'에 대한 생각은 의외로 중요한 단서를 제공합니다.   즉



따라서 합답형 ㄱ),ㄴ),ㄷ)을 우선은 이차함수라는 관점에서만 생각해보면 ㄱ)은 참이고, ㄴ)은 특수한 조건이 있으야 참임을 알 수 있고, ㄷ) 역시 특별한 조건 ( 예를 들면 h(x)=0 )이 있어야 참임을 알 수 있습니다.  이제 문제가 묻고 있는 것을 생각해서 주어진 h(x)는 어떤 '조건'을 갖는 이차함수인지를 생각해보면 이런 어려움을 해결하는 유력한 방법이 됩니다.

그런데 문제를 해결하는 관점에서 필요조건부터....  는 이런 점에만 제한되는 것은 당연히 아닙니다.   오히려 이런 것은 이렇게도 도움이 된다고 해야 할 것이고.  더욱 중요한 것은,  일단 필요조건부터 구한다는 것은 '가장 보편적인'  - 전형적인 절차가 되어서 의식을 하지 못하는 경우가 많다고 할 정도로 -  사고방법이라는 것입니다.



난이도가 높았던 어떤 문제의 일부입니다.   문제를 해결하기 위해서는 '교집합'을 이해할 수 있어야 합니다.    A..은 원'위'의 점이면서 대각선 '위'의 점임을 알 수 있어야 합니다.   문제를 해결하는 과정은 먼저 원위의 점이라는 것 ( 필요조건 )을 이용하고 다음에는 대각선 위의 점이라는 것 ( 필요조건 )을 이용하고 이렇게 해결해가야 합니다.    가령 어떤 함수의 그래프의 교점이 주어지는 문제도 마찬가지입니다.   매우 전형화되긴 했지만, 이것도 먼저 한 함수의 그래프 위의 점이라는 것 ( 필요조건)을 이용하고 그리고 다른 그래프 위에도 있다는 것을 이용해가야 합니다.

모든 보편적인 사고가 그렇듯,  '필요조건부터 구한다'는 것 역시, 문제가 간단하거나, 그 과정이 '전형화된 경우'라면 크게 문제가 되지 않을 수도 있습니다.   하지만 '복잡도가 높은 문제'를 해결하는데 있어서는 이런 사고방식의 체화는 매우 결정적인 역할을 할 때가 많습니다.  왜냐하면 사실 대부분의 경우 조금만 난이도가 높아져도 문제는 '복합적'으로 주어지기 때문입니다.

말하자면 어떤 문제를 해결함에 있어서  이른바 내적연관 문제의 특징 ( 두 가지 이상의 개념과 절차를 요구하는 )은



과 같이 먼저 A 집합에 속하는 문제에 적용되는 개념, 절차를 적용하고 (필요조건) 다음에는 B 집합에 속하는 문제에 적용되는 개념, 절차를 적용해서 풀어나가야 하기 때문입니다.  ( 물론 그 순서도 중요한 역할을 할 때가 있습니다.  )  따라서 이런 사고과정의 체화는 다음과 같은 '새로운 유형'의 문제를 언제나 안정적으로 해결할 수 있게 도와주는 것입니다.



즉 이때 필요한 개념, 절차는 '방정식의 근'에 관한 것과 '확률'에 관한 것입니다.   보통 이런 문제를 먼저 풀어본 경험이 없으면 지금의 경우는 두 근이 확률이므로 확률의 성질을 적용해야 함을 깜빡하게 되는 경우가 많은데 '필요조건부터 구한다'는 사고에 대해서 정확히 이해하고 있으면 이런 문제점을 해결하는 것이 가능해지는 것입니다.

그리고 이것은 '먼저 필요조건부터 구한다'는 사고는 '반드시' 그것은 '답의 후보'일 뿐 '답 자체'는 아니다라는 것과 밀접한 연관을 갖는다는 것을 의미하기도 합니다.    이점에 대해서는 다음에 ' 필요조건부터 구한다'는 것은 이와 같이 문제를 해결하는 과정에  필요한 보편적 사고의 수준이 아니라, 수학 개념 자체의 확장에 관련된 가장 중요한 사고임을 설명하면서 같이 다루기로 하겠습니다.
전체 5

  • 2018-07-26 00:00
    강필 선생님, 올려주시는 보편적인 수학적 사고력 글을 잘 읽고 있습니다. 여쭐 것이 있는데, 평가원은 '전체집합, 분할, 치환, 필요조건부터, 같은 것과 다른 것' 등등을 공식적으로 언급한 적이 있나요, 아니면 평가원이 말하지는 않았으나 지금까지 출제한 문제나 교과서에 드러난 것인가요?

    • 2018-07-26 14:29
      보편적인 수학적 사고력이라고 하는 것이 이런 식으로 딱히 정리할 수 있는 것인지는 나도 잘 모르겠습니다. 그리고 내용을 짐작해보면, 이것은 '통합적'인 성격임을 알 수 있을 것입니다. 즉, 어떤 특정 내용(개념)만으로는 여러 개념, 절차 등에 나타나는 공통점을 이야기할 수 없다는 것입니다. 현재의 교육과정의 기본은 이러한 '통합적 성격의 사고'는 '배우는 사람'이 스스로 형성해가는 것을 원칙으로 합니다. ( 가령 물리적 사고와 수학적 사고의 통합이라든지... ) 내가 나름대로 정리를 해보는 것은, '그럼에도 불구하고' 이러한 통합적 성격의 사고자체에 대해서도 어떤 '정리' - 비록 그것이 '학적인 수준'까지 발전한 정도는 아니라고 해도 - 가 필요할 듯 해서이고.

      내가 평가원이 발표하는 모든 자료 - 사실 평가원은 하는 일이 정말 많습니다. -를 보는 것은 아니라서. 다만, 이런 성격의 어떤 조사, 논문, 자료 등은 다룬 적이 당연히 있을 것이라고 봅니다. 그리고 내용적으로 사실 내가 보편적 사고라고 정리하는 부분은 '내용'적으로는 거의 '집합/명제'와 관련된 부분이라고 할 수 있을 것입니다. 내가 답할 수 있는 것은 이런 정도인 것 같고.

      교육과정의 측면에서 이와 같은 '통합적 사고'를 다루는 어떤 커리큘럼의 필요성에 대해서, 나는 '필요하다'는 입장입니다. 지금처럼 '배우는 사람'이 할 일이라고 하기에는, 시대적인 요구 - 통합적 사고 -라거나, 우리 현실 ( '정말로' 자기주도적인 학습이 어려운 ) 등을 고려하면, 그 자체가 '과목'과 같이 ( 물론 선택과목이어야 하겠지만 ) 필요한 것 아닌가 하는. 그런데, 이런 통합적 사고를 다루는 어떤 '강좌'를 중등학교(중학교/고등학교)의 수준에서 어떻게 정식 커리큘럼할 수 있을지는 좀 고민해볼 것은 많고, 사실 '가르칠 사람'의 훈련도 아직 부족한 실정일 것 같고.

      이런 정도.

  • 2018-07-28 15:36
    강필샘 혹시 베르테르77제라는 수험생사이에 악명높기로 소문난 공간도형 벡터 77제 문제 아시나요? (단언코 이것보다 어려운 공도벡문제는 나올수 가 없다 라는 말들)
    이 문제 보면서 만든 사람 보고 정말 대단하다고 생각했는데 이 문제에 대해 어떻게 생각하시나요? 개인적으로 강필샘의 풀이나 관점같은것 도 보고 싶기도하고 궁금합니다. ㅋㅋ
    https://m.blog.naver.com/hans8707/220388004635 <--여기서 다운가능합니다 ㅋㅋ

    • 2018-07-29 15:27
      한번 보기는 하겠습니다만, 뭐 내가 평가하는것이 적절할 지는 모르겠습니다. 나는 모든 문제에 대해서, '의미가 있다'고 생각하는 편입니다. 심지어 '오류'인 문제가 있어도, 그 문제를 통해서 '얻는 것'이 있다. 이런 식의. 다만, '시험공부를 위한 문제'라는 관점에서는 이제 그 시험의 기준 ( 출제기준과 출제원칙 )에 따른 평가는 가능하겠죠. 그런데 이 경우도, 예를 들어서 지금 말씀하신 평가 - 악명높은, 이것보다 어려운 문제가 나올 수 없다... -를 인정한다면, 이런 문제를 소재로 할 때는 '맞히는 것'에 연연하면 아마도 가령 수능시험에는 도움이 되지 않을 것도 분명해보이긴 합니다. 그런데 반대로 '시도,시행착오=이득'이라는 관점에서, XO학습법식으로 표현하면 XXXX 가 거듭되는 상태... 이런 관점에서 공부한다면 도움이 될 소지가 많을 것이고. 말하자면 시험공부의 입장에서는, XXXX가 많아지는 문제는 '얻을 것' ( 왜냐하면 그만큼 시행착오의 경험이 많아지니까 )이 있다고 보면 됩니다. ( 물론 이 경우에 무엇보다 문제를 풀면서 정말로 얻어야 할 것은 무엇인가를 정확하게 이해하고 있어야 합니다. )

      답글 쓰다가 문제를 좀 보고 왔는데, 뭐 앞에서 이야기한 느낌이랑 다르지 않네요. 시행착오=이득. 이 관점에서 좋은 훈련 소재가 될 수 있다. 그리고 뭔가 좀 오래된(?) 문제인 듯 하고. 가령 최근 29번의 경향과는 좀 안 맞는 요소는 있는 듯 하고. 뭐 이런 정도입니다. 맞히는 것에 연연할 것이면 ( 그것도 시험공부의 입장에서 ) 시험공부를 위한 문제로는 적합할 것 같지는 않다. 이런 정도입니다.

      • 2018-10-22 19:45
        역시 그렇군요 현 수능 트렌드랑은 거리가먼 하지만 저는 학창시절때도 항상 제가 못푸는
        문제가 자꾸 저를 도발하고 불르더군요 그래서 항상 발악하는 식으로 제가아는 별별 수단을 다 동원 해서 될때까지 풀어서 결국 맞는 식으로...했던것같네요 강필샘의 맞은 문제로부터 공부하고 틀린문제는 도전하라 라는 말을 들었음에도 잘 안되더라구요 맞은문제는 거들떠도보지않고 어려워보이는 문제 발악해서풀기...(그대신 해설은때려죽어도안봄 나중에어찌어찌해서 정답맞추면 이젠 그 문제에 관심이떨어져서 해설안보고...결국 그냥 넘어갔던)