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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

'보편적인' 수학적 사고력[5] - 먼저 필요조건부터 구한다[1]

작성자
강필
작성일
2018-07-15 19:03
조회
1626
논리학에서는 '정의'='종차'+'유개념' 이라는 표현이 있습니다.  무슨 말인가 하면, 가령 사람을 '정의'하는 표현으로

'사람'은 '생각하는 동물'이다.

이렇게 표현한다면 '생각하는'에 해당하는 것은 '종차'이고, '동물'은 '유개념'이라는 뜻입니다.

정의 ( Definition ) - 헤겔사전

여기에서 '유개념'에 해당하는 수학개념이 '필요조건'입니다.

필요조건 ( 수학백과 )

그리고 이것은 '수학문제'를 해결하는,  더 나아가서 '수학개념'을 '체계화'하는 보편적인 수학적 사고입니다.



이와 같은 문제를 해결할 때 두 식을 더해서   이라는 식을 만들어 낸 경우에, 이 과정을 정확하게 논리적으로 표현하면,

먼저 '필요조건'을 구하는 것입니다.

즉  을 만족하는 집합은 을 만족하는 집합의 '부분집합'이라는 뜻입니다.   이를 좌표평면을 이용하여 좀 더 분명하게 나타내면



와 같이 나타낼 수 있습니다.

문제가 묻고 있는 것은 빨간색의 직선의 교점을 구하하는 것이고, 두 식을 더해서 구해서 우선 구한  은 그 교점이 일단 검은색 직선위에 있다는 것입니다.   이제 다음은 이것을 처음에 식에 대입해서 나머지 값을 구하면 되는데,  이 과정은 검은색 직선과 빨간색 직선의 교점을 구하는 과정입니다.    사실 간단한 연립방정식의 해결에도 이와 같이 전제되어야 할 논리적 과정은 '결코 간단한 것'은 아닙니다.   이런 이유로 보통 교과과정에서 배우는 연립방정식의 해법에서 ( 사실은 일반적인 방정식의 해법에서도 ) '구한 답'이 주어진 식을 동시에 만족시키는지를 확인하는 것입니다.

그런데 이와 같은 기본적인 해법에 '보편적인 수학적 사고'가 들어있습니다.   그것은 '먼저 필요조건부터 구한다'는 것입니다.   '필요조건'은 '답'의 후보입니다.  따라서 먼저 필요조건부터 구해서 그중에서 답이 되는 것을 골라내거나, 또는 답이 아닌 것을 제외하거나 하면 된다는 것입니다.

예를 들어서 이런 문제가 있다고 합시다.



극댓값은 증가상태에서 감소상태로 변하는 함숫값을 말합니다.   이것을 구하는 방법으로 여러가지 발상을 할 수 있을 것입니다.   그런데 매우 강력한 방법은 이 극댓값의 '필요조건'부터 구하는 것입니다.

즉 먼저 접선의 기울기가 0 인점을 구합니다.   왜냐하면 증가상태에서 감소상태로 변하려면 그점에서 ( 정확하게는 미분이 가능해야 하지만 ) 접선의 기울기는 일단 0이어야 하기 때문입니다.   그런데 당연히 그 점에서 접선의 기울기가 0 이라고 해서 극댓값 ( 증가상태에서 감소상태로 바뀐다 )이라고 할 수 없을 것이므로, 이제 '답'이 될 수 없는 점들 ( 감소상태에서 증가상태로 바뀌는 경우, 함숫값이 변하지 않는 경우,  증가상태이거나 감소상태인 경우 등등 )을 제외하면 되는 것입니다.

이런 방법은 가장 범위를 좁히면, '극댓값을 찾는 방법'  ( 더 좁히면 다항함수에서 극댓값을 찾는 방법, 더 좁히면 삼차함수에서 극댓값을 찾는 방법, 더 좁히면 ....  ) 이라고 할 수 있고,  교과과정의 내용소재에 따른 '전형적인 풀이절차'에 의하면 '극값을 구하는 방법'이 되며,  이제 범위를 넓혀서 매우 보편적인 사고력의 관점에서는 일단 '필요조건'부터 구한다는 것이 되는 것입니다.

실제로 이 '일단 답의 후보부터'는 수학문제뿐 아니라 모든 영역에서 가장 강력한 방법의 하나입니다.   ( 이런 예는 굳이 거론하지 않아도 충분히 쉽게 찾을 수 있을 것입니다.  )   다음에는 수학문제 해결에서 이런 발상이 중요한 역할을 하는 경우를 살펴보도록 하겠습니다.   농담반 진담반으로 덧붙이면 이런 방법은 가령 '객관식 문항'의 경우에,  그 문제를 해결하는 매우 '위력적인 방법'이 될 수도 있습니다.
전체 12

  • 2018-07-15 21:27
    저는 작년에 연립방정식 설명했을 때 위의 x와 아래의 x가 같다는 보장이 없기 때문에 두 식을 더해서 2x=2 ->x=1로 만들 근거는 없다. 하지만 두 식을 동시에 만족하는 x,y값을 찾는 것이므로 일단 같다고 '가정'한뒤에 x=1 y=0이란 것을 찾고 그것이 진짜로 두 방정식을 동시에 만족시키는 해인지 확인해봐야 한다. 왜냐하면 지금은은 위 아래의 x,y값이 서로 같으면 (1,0)인 것은 맞지만 이것이 (1,0)이면 이 방정식의 해가 된다고 보장해주지 못하기 때문이다. 예를들어 2-3반 남자이면 잘생겼다는 맞지만, 잘생기면 2-3반 남자라고 하면 틀린 말이 될 수 있으니까..라는 방식으로 설명했습니다.
    저는 방정식의 해를 구하는 것은 필요충분 조건을 구하는 것이라고 생각하기 때문에 A이면 B이다를 확인하고, 다시 B이면 A이다를 확인하는 절차가 필요하다고 생각하고 있는 것입니다.

    개인적으로 정말 유감인 것은 이런 방정식을 풀 때는 사실 대입해서 확인해본다는 서술은 연립방정식에는 없습니다. 그런데 연립방정식의 활용단원에서는 구한 연립방정식의 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다. 라는 말은 있는 것입니다. 똑같은 연립방정식 문제인데 문장제가 아니면 확인한다는 말이 없고, 문장제 문제면 확인한다라는 말이 있고..

    필요조건을 구하는 것이 문제를 해결하는 강력하고 효과적인 방법임을 부정하는 것은 아닙니다. 문제가 해결되었다고 '가정'하고 그 답의 후보를 찾는것은 분명히 효과적이고 유용한 방법입니다. 하지만 지금 현실은 필요조건'만' 찾는 것이 문제라고 생각합니다. 부디 마지막 글은 필요조건만 찾았을 때 생기는 문제점을 꼭 글로 써주시길 부탁드립니다.

    • 2018-07-19 10:06
      연립방정식 (왼쪽에 중괄호로 크게 묶은 경우)이라고 말하는 순간 위의 x와 아래의 x는 같은걸로 보는게 전제되어 있는게 아닐까합니다.
      따라서 등식의 성질을 이용하여 식의 변형을 통해 연립방정식의 해를 구하는 순간 필요충분조건의 해를 구하게 되었다고 판단됩니다.

      활용 단원에서는 해가 실수 전체집합이 아니므로 확인해보는 과정을 거치는 게 포함된거구요.

      • 2018-07-19 14:36
        좋은 의견 감사합니다. 한 번 말씀해주신 것을 생각해보고 제 생각을 말씀드립니다.

        전제는 기존의 '확정적' 사실을 의미하고, 가정은 사실일수도 있고 아닐 수도 있는데 일단 '임시'로 인정하는 것을 뜻합니다. 관련기사를 링크로 걸어봅니다.
        (http://www.imaeil.com/sub_news/sub_news_view.php?news_id=11057&yy=2015)

        네이버 백과사전에 소개 된 내용은 다음과 같습니다.

        전제 : 논증(論證)에서 그것으로부터 출발하여 결론을 얻을 수 있는 명제(命題). 즉 어떤 명제를 근거로 하여 다른 명제를 도출해 내는 경우, 근거가 되는 명제를 전제라고 부른다.

        가정 :논리적 추리를 전개할 때 그 추리의 기반이 되는 명제, 혹은 그 명제를 제시하는 행위를 말한다. 어떤 명제를 가정으로 채택할 때 그 명제가 진리이거나 진리일 가능성이 있다는 믿음에 의하는 경우도 있고 논리적 추리를 전개할 목적으로 단순히 진리 여부에 상관없이 일단 채택해주는 경우도 있다.

        가정과 전제가 추리를 위한 시작이 되지만, 논리전개에서 전제는 그것을 참으로 인정하는 것이고, 반대로 가정은 그것이 참인지 아닌지는 모르겠지만 참이라고 생각해보고 논리를 전개해보는 것입니다. 그런 입장에서 본다면 연립방정식 문제가 두 식의 x,y 값이 각각 같다고 ‘전제’하는 것은 부정확하다고 생각합니다.
        왜냐하면 예를 들어 ‘2x-y=3, 4x-2y=7의 연립 방정식을 풀어라’를 생각해보겠습니다.(현재 이문제는 교과과정에서는 일차함수 그래프를 다루면서 배우고 있습니다.) 만약 연립방정식이 문제가 위의 x와 아래의 x가 같다고 ‘전제’된 것이라고 생각해보겠습니다. 아시다시피 연립방정식의 해는 없습니다. ‘두 식을 동시에 만족시키는 x,y 값이 없다’란 결론의 근거가 두 식의 x,y 값이 같다는 것이 되는데 이 상황은 서로 모순입니다. x,y값이 서로 같다는 것을 참이라고 인정했는데 그런 것은 없다란 결론이 나왔습니다. 뭔가 좀 이상하지 않나요?(가정의 입장에서도 똑같은 결론이 나오지만 전제는 그것이 일단 무조건 ‘참’이라는 입장에서 차이가 있습니다.)

        (더 쉽게 예를 들면 어떤 사람이 1/a 라고 쓴다면 a가 0이 아닌 것은 ‘전제’ 되었다고 하지 ‘가정’되었다고는 하지 않습니다. 여기서 a가 0이 되지 않는 것은 반드시 참이니까요.)

        그렇기 때문에 정말 엄밀하게 말하면 연립방정식에서 가감법, 대입법등을 사용해서 두 식의 x,y 값이 각각 같다고 가정한 상태에서 푸는 것이지 결코 ‘전제’해서 푸는 것은 아닙니다. 이런 조금 학생들 입장에서 받아들이기 힘들기 때문에 그냥 부드럽게 설명 없이 등식의 성질을 이용해서 빼고 더하고 하면서 해를 구하는 것으로 교과서의 풀이가 진행된다고 생각합니다.

        방정식 자체가 알고 보면 가정입니다. 예를 들면 방정식 2x+5=2x+4를 풀어라 라고 하면 문제 상황은 이 등식을 만족하는 x값이 있다고 가정한 상태에서 그 값을 찾아보란 것이지 실제로 그것을 만족하는 x값이 ‘진짜’ 있는지 없는지는 풀어 보기 전에는 모르는 상태입니다.

        정확하게 설명하면 ‘2x+4=6을 풀어라’라고 하면 2x+4=6을 만족하는 x값이 있다고 하면 등식의 성질에 의해서 2x=6-4 => x=1 이렇게 되는 것입니다. 결국에는 지금상태는 필요조건을 찾은 것이고 충분조건은 찾은 것이 아닙니다. 물론 수학적으로 지금 이 상황은 필요충분조건에 해당이 되지만 풀이 과정 자체의 논리적 과정은 그렇지 않습니다. 그렇기 때문에 다시 구한 해를 대입해서 양변의 값이 같은지를 확인해줘야 필요충분조건을 찾는 것입니다.

        활용 단원에서 해가 실수 전체집합이 아닐 수도 있다는 것에서는 동의합니다만, 그것 역시도 문제와 관련된 해집합의 필요충분조건을 찾는 것입니다.
        방정식이 문제의 뜻에 맞는지 확인하는 것이 사실은 필요충분조건을 찾는 것인데, 문장제라고 해서 그런 말이 있고 그렇지 않으면 없다는 것은 납득하기 힘듭니다. 왜냐하면 똑같은 방정식 문제니까요.(확인해보니 비상교육 교과서는 일반적인 연립방정식 문제에서도 해를 확인하는 과정이 있습니다. 대다수 교과서가 없는 것이 지금 좀 불만이긴 합니다.)

        • 2018-07-19 17:38
          2009개정 교과서이지만(2015개정은 확인해보지 않았습니다.)
          연립방정식의 정의를 교학사 교과서에서
          두 일차방정식을 동시에 만족하는 x, y의 값을 구할 때 두 일차방정식을 한 쌍으로 묶어서
          {x+y=5
          {2x+y=9
          와 같이 나타낸다.
          이와 같이 미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 한 쌍으로 묶어서 나타낸 것을 미지수가 2개인 연립일차방정식이라고 한다.
          또한 연립방정식을 이루는 두 일차방정식을 동시에 참이 되게 하는 x, y의 값을 연립방정식의 해라고 하며, 해를 구하는 것을 연립방정식을 푼다고 한다.

          라고 정의하고 있습니다.
          이미 정의 자체에서 두 x,y가 같다고 정의한 방정식이기 때문에 두 식에 각각 대입해서 참인지 판단하는 과정이 필요 없다고 생각됩니다.

          결국에는 일차방정식 푸는 과정이 문제가 될 수 있을 것인데
          말씀하신
          ‘2x+4=6을 풀어라’라고 하면 2x+4=6을 만족하는 x값이 있다고 하면 등식의 성질에 의해서 2x=6-4 => x=1
          라고 하셨는데

          일차방정식을 풀기위한 과정은 등식의 성질을 이용하고 등식의 성질에서는 0으로 나누는 것을 제외하면 항상 필요충분조건이기에 대입하는 과정을 따지는게 불필요하다고 생각됩니다.

          중학교 학생들에게 필요충분조건을 제대로 알려주지 않지만
          등식의 성질을 가감승제에서 다 할 수 있다고 배우는 것은 양변에 더하고 빼는 과정이 결국 필요충분조건임을 내포한다고 생각하기 때문에
          일차방정식을 등식의 성질로 푸는 것은 필요충분조건으로 푸는 거라고 생각하고 설명을 하고 있는것이고 문제가 되지 않는다고 생각합니다.
          (2X+4=6, 2X=6-4, X=1이 등식의 성질을 이용하면 필요충분조건을 만족하는 식이기 때문입니다.)
          이상 부족할지도 모르는 제 의견이었습니다.

          • 2018-07-19 18:47
            교과서 정의의 문장이 잘못하면 오해를 할 수 있겠단 생각이 먼저 듭니다. '미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 한 쌍으로 묶어서 나타낸 것을 미지수가 2개인 연립일차방정식이라고 한다.' 즉 이 문장이 연립일차방정식의 뜻 입니다. 여기서 윗식과 아래식의 x,y 값이 같아야 한다는 말은 없습니다. 즉 님께서 말씀하신 것처럼 정의 자체에서 x,y 값이 같다는 말은 연립방정식의 정의에는 없는 말입니다. (만약에 이렇게 정의가 되면 위에서 예로 제시해 드린대로 연립방정식 2x+y=3, 4x+2y=7 을 풀어라란 말을 할 수 없겠지요) 맨 앞의 문장이 혼란을 줄 수 있다고 생각합니다.

            방정식의 풀이과정은 필요조건을 찾아가는 것입니다.
            예로든 것을 좀 더 자세히 설명해드리면 2x+4=6 을 등식의 성질을 이용해서 푼다는 것은 먼저 이 방정식이 풀렸다고 ‘가정’하여 이 식이 등식이라고 생각을 하고 등식의 성질을 적용하는 것입니다. 즉 방정식을 푼다는 것은 방정식이 풀린 것으로 가정하고 등식의 성질을 적용하여 방정식을 계속 변형하여 필요조건을 찾는 것입니다. 따라서 필요충부분 조건을 구하려면 이제는 당연히 대입해서 확인해봐야 합니다. (지금 현재 교육과정에는 없지만 제가 고등학교 일때만 해도 분수방정식, 무리 방정식이란 것을 배웠습니다. 수험생이시면 그냥 그러려니 하시고 아니시면 한 번 검색해서 무연근이란 것이 왜 생겨나는지 보셨으면 좋겠습니다. 그러면 지금 하고 있는 제 말이 훨씬 더 이해하기 쉬우실 것입니다.)

            한 번 더 자세히 풀어드리면 위에서 예로든 방정식 2x+5=2x+4를 풀어라 를 생각해보시면 됩니다. 일단 이 식이 등식이라 가정하고(결론적으로 등식이 아니긴 하지만) 등식의 성질을 적용하면 5=4가 됩니다. 결국에는 가정이 잘못되었기에 이 방정식의 해는 없다고 결론을 내릴 수 있는 것입니다.

            정리해서 요약하면 방정식의 풀이과정은 방정식이 풀렸다고 가정하고 등식의 성질을 적용하는 것이기 때문에 필요조건을 찾아가는 과정이라는 것입니다.

            이런 필요조건, 충분조건을 중학교 교육과정에서 얘기할 수는 없기에 일차방정식 풀이에서 반드시 방정식을 등식의성질, 이항을 이용하여 푼 뒤 꼭 그 해를 대입하는 과정이 있는 것입니다.

            그래서 제가 유감이란 것은 일차방정식은 그렇게 필요충분 조건 다 찾아놓고선 왜 연립방정식에서는 그렇게 안하는가입니다.

            혹시라도 제 설명의 부족해서 이해가 안되시거나 다른 의견이 있으시면 꼭 글로 남겨주시길 부탁드립니다. 저도 글쓰면서 생각이 많이 정리가 되네요 ㅎㅎ

            • 2018-07-19 21:52
              방정식을 푸는 건 방정식의 해를 구하는 과정인데 연립방정식의 해를 '연립방정식을 이루는 두 일차방정식을 동시에 참이 되게 하는 x, y의 값'를 정의하고 있으므로
              위의 식의 x와 아래 식의 x가 다르면 연립방정식의 해의 정의에 만족할 수 없으므로 따질 필요가 없다고 생각합니다.

              방정식의 풀이과정은 필요조건을 찾아가는 과정이긴 하지만 필요충분조건임이 당연한 상황이라면 굳이 필요조건이라고만 해석할 필요가 없다고 생각합니다.

              2x+5=2x+4는 방정식의 정의에 의하면(식을 좌변으로 모두 이항 했을 때 x에 관한 식=0의 형태) 1=0이므로 x에 대한 방정식이 아니게 됩니다.

              분수 방정식와 무리방정식은 식을 변형하는 과정에서 필요충분조건이 되지 않는 과정이 포함되기 때문에 무연근이 생기는 것이고요
              (√x=x-1와 <=> x=(x-1)^2이 필요충분 조건이 아니기에)

              그래서 필요충분조건이 명백해 보이는 방정식 단원에서는 방정식의 해를 대입하는 과정을 꼭 해보라고 강요할 필요가 없다는 게 제 생각입니다.(검산의 목적이 아니라면)

              • 2018-07-19 23:14
                연립방정식에서 위의 x와 아래의 x가 다르면 해가 아니다란 말씀은 맞습니다. 하지만 정말로 두 식을 동시에 만족하는 x,y값이 존재한다고 ‘확신’할 수 없는 상황에서 어떻게 윗 식 x와 아래 x는 무엇을 근거로 서로 같다고 생각할 수 있나요? 같다고 가정하고 문제를 푸는 것이랑, 같은 것이어서 문제를 푸는 것이랑은 완전히 다른 이야기입니다. 즉 해를 찾고 있는 과정이어서 같다고 가정하는 것이지 정말로 같은지는 답을 내보기 전까지는 모르는 일입니다. 연립방정식을 처음 풀 때 항상 각각의 방정식의 해를 순서쌍, 혹은 표를 통해서 제시한 다음 공통이 되는 (x,y)값을 찾고 있습니다. 즉 이러한 서술은 이미 윗식의 x와 아래의 x가 서로 다를 수 있음을 나타내고 있는 것입니다. 이제 그 공통인 해를 구하기 위해서 위의 x,y와 아래의 x,y가 서로 각각 같다고 가정한 다음 등식의 성질을 이용하고 있는 것입니다. 그렇기 때문에 해가 정말로 맞는지 확인하는 과정을 생략하면 이것 역시 필요조건만 구한 것입니다.

                방정식을 풀어가는 것이 필요조건을 찾아가는 것이기에 강필 선생님 글에도 있듯이 이것은 답의 ‘후보’를 찾는 과정입니다.(아주 유력한 답의 후보긴 하지만요) 그런데 어떻게 그 후보가 당연히 ‘답’이라고 확신할 수 있나요? 즉 풀이의 논리적 과정은 계속해서 필요조건을 찾아가고 있는 것인데 그것이 충분조건도 된다고 당연하게 생각할 수 있는 근거는 어디에 있나요? 방정식의 풀이가 필요조건을 찾아가고 있는 과정인데 그것을 필요조건을 찾아가고 있다고 해석해야지 또 어떻게 더 해석해야 하나요?
                만약에 일차방정식 2x+4=6을 풀 때 정말 필요충분조건으로 문제를 해결한다면 2x+4=6 <-> 2x=2 <-> x=1 따라서 이 방정식의 해는 1 이렇게 풀어야 합니다. 바로 윗 댓글에 제가 썼듯이 중학교 교육과정에서 이런 표현을 쓸 수가 없으니까 필요조건으로 해의 후보를 구한 뒤에 그 후보가 정말로 해가 되는지 확인하는 과정이 있고 그것이 올바른 풀이입니다. 물론 말씀하신 것처럼 한눈에 보이는데 뭐 그렇게 까지 해야하나라고 생각하실 수 있습니다. 그런데 쉽고 한 눈에 보인다고 해서 논리적 과정을 생략할 수 있나요? 물론 수학을 어느 정도 공부한 사람들은 뭐 뻔한 것이니까 그냥 넘어갈 수도 있지만 방정식을 이제 처음 배우는 학생에게 그런 논리적 과정을 생략한다는 것은 올바르지 않습니다.(수학적으로도 여기까지 해야 완전한 풀이가 됩니다.)

                예로 들어주신 무리방정식이나 일차방정식이나 연립방정식이나 모든 방정식의 풀이는 필요조건을 찾고 있는 것인데 무리방정식은 조금 복잡하니까 충분조건도 고려해야되고 중학교 때 일차방정식이나 연립방정식은 간단하니까 필요조건만 찾으면 그게 또 알고보면 충분조건도 되니까 충분조건이 되는 과정은 생략하고.. 이런 것이 수학일까요? 똑같은 방정식 풀이인데 왜 어떤 것은 필요충분조건 구하는 과정이 있고 어떤 것은 필요조건만 구하는 과정만 있어도 되는지 납득이 되지 않습니다. 또 지금 처음부터 배울 때 그러한 충분조건을 찾는 연습을 해야지 나중에 무연근이 나오는 방정식을 배울 때 왜 마지막에 대입을 통해서 무연근을 제거하는지 좀 더 쉽게 이해할 수 있지 않을까요? 오히려 쉬울 때 올바른 과정을 철저하게 학습하는 것이 교육적으로도 올바르다고 생각합니다.

                정리해서 말씀드리면 필요충분조건이 한 눈에 보인다고 해서 학습하는 사람들에게 논리적 과정을 생략할 수 없고, 또 그렇게 하는 것이 수학적으로도 올바르다는 것입니다. 왜냐하면 방정식에서 등식의 성질을 적용한 다는 것 자체가 등식이라 ‘가정’한 뒤에 문제가 해결되었다고 ‘가정’한 뒤에 적용할 수 있는 문제니까요.


                댓글내용중에 또 하나 말씀드리면 방정식의 정의는 (x에 대한 식) = 0 과는 거의 관련이 없습니다. 방정식 정의 자체는 미지수 값에 따라서 참 거짓이 정해지는 ‘등식’입니다. 즉 방정식 2x+4=2x+5를 풀 때 이것이 등식이라고 가정하고 등식의 성질을 적용했더니 모순이 나오기 때문에, 그렇기 때문에 이것은 등식이 아니기 때문에 결국 이 식을 만족하는 x값은 없다고 하는 것이 맞습니다. (결국 님말씀대로 1=0이어서 등식이 아니다. 란 말씀과 결론은 같게 됩니다.)

  • 2018-07-20 15:08
    생각해볼만한 내용은 충분하다고 보기때문에 간단하게만.... ( 문장 하나 하나의 논리적 비약을 따지는 것은 의미가 없고, 전체적인 맥락에서만... )

    등식의 기본성질에 대한 교과서의 내용은 다음과 같습니다.

    a=b 이면 a+c=b+c ( 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다. ) ....

    물론 '필요조건과 필요충분조건'의 '차이'를 배우면 위의 역도 '중요'하다는 것을 알 수 있고, 식의 변형은 필요충분조건임을 알 수 있습니다.
    그런데 중학과정에서는 그럴 수 없겠죠? 따라서 중학과정에서 식의 변형의 '역과정'을 자세히 언급할 수는 없는 것입니다.
    이런 이유로 '교과서'의 일차방정식의 풀이는 다음과 같이 서술됩니다.
    x-3=2의 양변에 3을 더하면, x=5. 이때 x의 값을 x-3=2에 대입하면 방정식은 참이 된다. 따라서 x=5는 x-3=2의 해이다.

    물론, 필요조건과 필요충분조건의 '차이'를 정확히 배우고 ( 당연히 고등학교 과정이겠죠? ) 나면, 이제 그런 식의 변형이 필요충분조건으로의 변형과정임을 알 수 있고, 따라서 주어진 방정식의 풀이를 '일단 답의 후보'부터 구하는 것이 아니라, '필요충분조건'인 식으로 변형 (동치변형)해서 x-3=2와 x=5가 동치(필요충분조건)임을 나타내는 방법으로 해결할 수 있게 되는 것입니다. 두 분의 논의는 이런 면에서 서로 다른 측면에 주목하고 있는 상황이고.

    말하자면, 한 분의 의견은 정확하게는 '필요조건'과 '필요충분조건'을 구별할 수 있는 '고등학생'이라면, 굳이 '대입해서 확인안해도 된다'고 정리할 수 있을 듯 하고, 수학교사는 ( 아는 사람은 알겠지만 중학생을 가르치는 분입니다. ) '당연히', 중학생은 그것을 구별할 수 없고, 따라서 식의 변형과정 ( 등식의 성질을 적용하는 과정조차 )은 '답의 후보'를 찾는 과정이라고 말하는 것입니다. ( 일단 방정식의 해를 가정하는 문제는 떠나서라도 )

    논의에 참조가 되길. 물론 내 글의 취지는 '답의 후보'부터 찾는 과정이 갖는 보편적인 수학적 사고과정 자체에 초점은 있는 것이고.

  • 2018-07-26 14:49
    1=2
    이것도 등식입니다. 거짓인 등식이요.
    등식의 기본성질은 등식의 참거짓과는 무관하구요

    • 2018-07-26 22:37
      이 문제는 다른 요소를 포함하고 있다고 보아야 할 것입니다. 즉. 등식의 기본성질은 " a=b이면 " 을 가정으로 합니다. 그런데 이때 가정이 '거짓'이면 명제는 항상 참입니다. ( 진리집합이 공집합이라서... ) 그런데 이렇게 가정이 '거짓'인 경우에 그 명제를 참이라고 하는 것은 현재 교과과정에서는 다루지는 않고 있습니다 . 과거에는 진리표라고 하는 것이 교과과정에 있었고, 이 경우는 '가정'이 거짓이면 명제는 항상 참이라는 것도 다루었습니다. ( 사실 이런 수준에서 명제를 논의하려면 복잡한 내용이 많이 포함될 수 밖에 없습니다. 현실적으로 가정이 거짓인 경우는 '최소한' 중고등학교 수학에서 배우는 것에는 큰 관계는 없기도 하고... )

      • 2018-07-26 23:16
        저는 이 내용을 집합론과 이산수학에서 배웠는데 솔직히 큰 '감흥'은 느끼지 못했습니다. 이게 의미가 있다면 1=2가 거짓임을 밝히고 1=2이면 모든 수학은 쓰레기다. 가정이 거짓이므로 참이다. 1=2 이면 독도는 일본땅이다. 가정이 거짓이므로 참.. 이런 수학 책도 의미가 있어야 되니까요. 그리고 저는 이런 걸 수학이라고 생각하지도 않습니다.(그럼에도 불구하고 1=2가 거짓이란 것을 밝히는 것은 매우 의미 있다고 생각합니다.) 논리학에서는 이런 것도 의미가 있다고 들었는데 수학에서 어떤 논리를 전개할 때 '가정'이 항상 참이라고 생각하는 것이 그냥 자연스럽다고 생각합니다. 체계를 쌓아나가는 과정에서 거짓인 '가정'으로 된 명제가 도대체 무슨 의미가 있나 싶기도 합니다. 게다가 여태까지 본 수학 책 중에서 '가정'이 거짓으므로 이 정리는 참이다라고 증명한 내용은 정말 본 적이 없기도 합니다.(의미가 있고 중요하다면 적어도 한 번 이상은 봤을 텐데 말이죠..)

        • 2018-07-27 15:12
          수학이 갖는 '형식미'에 대한 일종의 집착은 꽤 강하다고 보아야 하지. 칸토어의 표현처럼, 수학은 '자유'이기 때문에, 그런 '형식미'에 대한 집착은 정당하다고 할 수 있기도 하고. '가정'이 거짓인 경우에 명제를 참이라고 하는 것도 그런 성격이라고 보아야지., 최대한 공리적인 체계의 완전함을 추구하는. 논리학에서 의미가 있다는 말도 그런 뜻이고. ( 사실 이런 분야의 일종의 '갑'은 기호논리학인데, 기호논리학에서 풀어야 할 문제들은 정말 끝내주는 문제들이지. 가령 춘향이는 달에 갔다. 태양은 달과도 다르고 바다도 아니다. 춘향이는 바다와 같은가? 뭐 이런 식의... ) 내가 학창시절에는 진리표를 배웠고, 가령 명제 p이면 q이다의 부정도 배웠지. 지금 교과과정에서는 그것은 '다루지 않는다'고 되어 있고. 아무튼 전공수준의 수학이 되면 어떨지는 난 잘 모르겠고 - 내 생각은 거꾸로 뭔가 중요할 수도 있겠다라는 생각은 든다. - '최소한' 중고등과정내에서 '가정이 거짓인 명제'는 의미가 없다고 보아야 하겠지. 좀 적절하지 않을 수 있지만, 2+3=5도 증명해야 하는 것이다. 뭐 수학을 이렇게 '가르치는 것'은 무리이긴 하니까.