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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

교과서 기본개념을 이용한 수학'내적' 놀이 - 결과보다는 과정에서 얻는 이익 [3]

작성자
강필
작성일
2021-01-15 08:25
조회
1089


각을 표현하는 방법을 위와 같이 할 것이라고 짐작하면   의 값을 구할 수 있습니다.    그리고 이제 '답'을 확인해볼 수도 있고,  사실은 '틀린 답'을 구했음에도 계속 더 구체적인 문제를 풀어갈 수도 있습니다.  여기서는 일단 구한 '답'을 확인한다고 가정하고 계속 '놀이'를 진행해보겠습니다.  (  개인적인 경험으로는 어떤 확신이 들기까지는 한 문제마다 '답'을 보거나 하지는 않았습니다.   이것은 사실 매우 간단한 생각때문에 그렇게 하게 된 것인데,  시험을 볼 때 '한 문제'마다 답을 볼 수는 없는 것이라서.   내가 중학교때 육상선수로 활동할 때, 훈련 방식은 '대회에서 달려야 할 거리' ( 10km )를 단지 매일 뛰는 것이었습니다.   과학적 훈련방법, 내 체형과 조건에 맞는 주법 등을 배울 수도 없는 조건이긴 했고. )

 라는 사실에서 '충격'이 생길 것입니다.  아니....

사람의 사고방식이 긍정적인가, 부정적인가는 성격이라고 할 수 있습니다.  하지만 이 성격도 어떤 그 '이전의 경험'으로 만들어지는 것이며, 이런 의미에서 '지금'부터 사람의 성격은 얼마든지 고칠 수 있습니다.   가령 나는 '적어도' - 기억이 뚜렷한 정도에서는- 초등학교 3,4학년 정도까지는 '사람'들 앞에서 무엇인가를 이야기하는 것을 못하는 '어린이'였습니다.    매사에 긍정적인 성격은 비교적 오래된 것 같은데,  중학교 시절을 지나면서 거의 굳혀지긴 했을 것 같습니다.   아무튼 '답'을 확인하고 나서, 긍정적인 사람은 그래도 '맞힌 요소'에 스스로 대견해할 것이고, 부정적인 사람은 '틀린 요소'에 스스로 자책할 것입니다.   부정적인 사람을 위한 '놀이'가 어떻게 진행되어야 하는가에 대해서는 나는 노하우가 없습니다.   사실 부정적인 사람은 이런 '놀이' 자체를 하는 것은 오히려 안 좋은 결과가 될 수 있다고 봅니다.  매사에 자신감이 없어질 지 모르니까.

긍정적으로 생각하기를 권합니다.   이제 몇 걸음은 왔다.  조금만 더 가면 해결할 수 있겠다.  - 아마도 이런 것이 산행을 하면서 자연스럽게 얻은 일종의 '철학'이 아닌가 싶긴 합니다.   산행을 하면, 무슨 철학책을 읽고 감명받는 등의 과정이 없어도,  이런 철학(?)이 자연스럽게 만들어질 수밖에 없습니다.



수학'내적'놀이의 전제는 '중학교 교과서'에서 배우는 내용에서 시작하는 것입니다.  이 상황을 해결할 마땅한 방법이 안 떠오르면 이제 중학교 교과서를 찾아볼 수 있습니다.    고등학교 교과서의 '삼각함수' 편이 아니라,  중학교 교과서의 '삼각비'를 찾아보아야 합니다.   내가 아직 완벽하게 이해하지 못한 것이 있는가에 대한 반성이 먼저입니다.   이 문제를 해결하는 것에 관련된 '새로운 것'을 배워서 해결하자.   이런 생각은 '도구의 습득'에 해당하는 경우가 아니라면 일반적으로는 '독'이 되는 생각입니다.    거꾸로 '도구의 습득'이라고 해도, 우선은 '지금 알고 있는 것'을 이용하여 '실패의 끝'까지 가보는 경우에만 그 '도구' - 호도법과 삼각함수의 정의 - 의 '위력'과 '필요성'을 절감할 수 있는 것입니다.



유레카!

중학교 교과서 '삼각비'에 있는 위 내용은 중학교 과정의 문제에서는 크게 중요하게 와닿는 것이 아닙니다.   '예각에 대한' 이라는 문장 요소도 '주목'하지 못하는 것이 당연합니다.    문제를 '제대로 읽지 못하는 이유'의 본질도 이런 것입니다.   뇌과학이 밝힌 정도는 어느 정도인지는 모르긴 하지만,  일단 저 글을 읽을 때 '시각'은 모든 문장 요소를 당연히 인지합니다.   그런데, 그렇게 인지한 정보에서 '두뇌의 작용'은 '예각에 대한'이라는 문장 요소는 무시한 채 진행됩니다.  왜냐하면 중학과정의 삼각비 문제들은 항상 그것이 전제되어 있기 때문입니다.  ( 교과서의 이 내용  앞부분은 '직각삼각형'만 등장합니다.  )

그런데 지금의 '내적놀이'를 하는 과정에서 다시 읽으면 이번에는 문제에서 주어진 기학적 상황 - 원 ! - 과 '예각에 대한 삼각비'라는 표현이 뚜렷하게 보입니다.   그리고 개념'열기'의 내용으로부터 정말 '호도법'과 '삼각함수'의 정의의 개념'열기'를 할 수 있게 됩니다.  이 과정은 이제 글을 읽은 수학을 '가르치는 분'들이 충분히 제시할 수 있는 내용일 것이라고 생각하고 생략하겠습니다.   ( 사실  교과서를 제대로 볼 수 있다면 교육과정과 교과서가 얼마나 치밀하게 구성되어 있는지 느낄 수 있습니다.   교육과정과 교과서를 '비판'하는 경우를  간혹 보는데 - 수학 교재 자체로 - 대부분의 경우는 자신의 '무식함'을 고백하는 글일 뿐이긴 합니다. )

답을 맞히지 않는 상태에서 계속 놀기,  중학교 수학교과서를 찾아보는 것이 없는 상태에서 계속 '노는' 방법도 있습니다.   하지만, 부분 부분 답을 확인하면서, 이미 배운 내용의 교과서 내용을 찾아보면서 '수학내적 놀이'를 한다면,  어느 정도 '의지와 끈기'만 있으면 누구나 가능한 '놀이'이다.  이것이 일단 수놀음의 가설입니다.  물론 적절한 '노는 주제'가 순서있게 제시될 필요는 있겠지만.

중학교 교과서의 내용으로부터 이제     임을 짐작해내는 것은 '삼각비'의 값이 - 삼각'함수'라는 개념을 생각해내기는 어렵다고 봅니다. - '음수'가 될 수도 있다는 '수학의 확장 본능'에 대한 이해만 있으면 충분히 가능합니다.

이러한 내적 놀이의 '과정'을 보면, 사실 제대로 추론한 것은 거의 없습니다.  매 단계에서 '추론'한 내용은 잘못 추론한 것입니다.  그리고 문제의 '답'과 '교과서의 내용'에서 결국 단서와 힌트를 얻어서 해결했을 뿐입니다.   그런데 그 '과정'에서 얻은 것은 매우 많습니다.   수학'공부'를 위해서도 그렇지만,  무엇보다 '시험'에서의 경쟁력을 생각해보면 더욱 그 '이득'은 결정적입니다.

그렇다면 답을 확인하지도 않고,  중학교 교과서도 찾아보지도 않는다고 할 때,  다시 문제로 돌아가서 시작하여  을 해결하는 과정의 '예'는 어떨까요?  다음은 이에 대해서 생각해보도록 하겠습니다.

(참고) 수험생이 혹시 이 글을 읽는다면, 따라서 나도 수학'내적'놀이를 하자.  이렇게 하면 안됩니다.   이런 수학'내적'놀이를 한 시기는 아닙니다.  그럼 어떻게 하라고?  '다른' 풀이를 찾는 과정에서 얻을 수 있는 이익이 이와 비슷하다고 생각하면 될 것입니다.
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