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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

교과서 기본개념을 이용한 수학'내적' 놀이 - 결과보다는 과정에서 얻는 이익 [2]

작성자
강필
작성일
2021-01-14 06:19
조회
562
( 이 글에서 이야기할 수학'내적'놀이는 하나의 사례에 불과합니다.   실제로 내가 학창시절에 이렇게 전개했다고 할 수도 없을 것이고 ( 구체적인 기억이 당연히 없습니다. ), 아마도 이런 식으로 하지 않았을까 하는 정도입니다.  )



놀이의 전제는 '삼각비'만을 알고 있다고 할 때, 이 문제를 해결할 수 있을까?  해결하는 과정에서 '호도법'과 '삼각함수의 정의'를 이끌어낼 수 있을까?  이런 성격이며,  결론을 먼저 말씀드리면, '호도법'과 '삼각함수의 정의'를 완벽하게 이끌어내는 것은 불가능하다고 생각하며, 이어지는 보조문제들이 없으면 어떤 '시도'을 해보는 것도 어려울 것입니다.

어떤 문제를 해결할 때, 중요한 관점은 '형식이든 내용이든' 비슷한 '내가 아는 문제'일 것입니다.    내가 아는 수학개념을 이용하는 문제라면 - 가령 시험문제는 이런 문제'만' 출제됩니다.  - 문제를 해결하는 데 어떤 수학적 개념을 적용할 것인가의 문제이지만, 이 문제는 '삼각비'의 정의로는 해결할 수 없는 문제입니다.   그런데 왜 해결할 수 없는가에 대한 이해가 가장 먼저라고 할 수 있습니다.

'삼각비'는 '직각삼각형'에서 정의되어 있으며,     와 같이 표현합니다.   따라서 문제를 해결하려면 다음과 같은 생각을 해야 합니다.

(1) 삼각비의 정의를 뭔가 '원'과 연관된 범위로 확장하였다.

(2) 각을 나타내는 방법을 육십분법 - 이와 같은 용어는 모른다고 해도 몇도라고 표현하는 방법 정도로 이해하면 됩니다. - 에서 '원주율'을 이용하는 방법으로 확장 또는 새롭게 정의하였다.

(1) 번의 생각은 수학이 갖고 있는 본질적인 특성과 관련이 있습니다.   개인적으로는 수학이 갖고 있는 이런 '확장 본능'(?)에 대한 어렴풋한 이해는 중학교 과정의 공부까지에서도 어느 정도는 이해하고 있었던 것으로는 기억됩니다.  일차방정식에서 이차방정식으로,  그럼 삼차방정식은?  이런 생각을 해본 기억이 있습니다.   그리고 자연수에서 정수로, 정수에서 유리수로,  그리고 실수로.  이런 '수 체계의 확장' 개념도 어렴품하게 느꼈던 것 같고.   따라서 어느 정도 이런 짐작은 가능하다고 봅니다.   거꾸로 이런 짐작이 가능하도록 '수학 개념의 확장'에 대해서 '가르치는 것'이 필요하다고 생각합니다.  그리고 그런 방법으로 매우 강력한 것이 '발견적 과정'을 수학적 활동의 중심에 두는 것이기도 합니다.

(2)번은 생각하기에 매우 어려운 부분이라고 봅니다.   이미 '육십분법'으로 표현하면 되는데, 그것을 굳이 다른 방법으로 표현할 필요성을 느끼기는 어렵기 때문입니다.   그런데 문제를 '인정'하면,  좀 다릅니다.   즉 스스로 육십분법으로 표현하는 각을 다른 방법으로 표현할 필요성을 느끼기는 어렵지만 주어진 문제를 보면, 그런 생각을 하는 것은 문제를 '인정'하면 됩니다.   표현이 이미 그렇게 되어 있기 때문에, '각'을 육십분법이 아닌 원주율을 이용하여 나타낸것인가?  이런 생각을 할 수 있다는 의미입니다.

그런데 이 두가지의 가능성에 대한 짐작은 문제를 보고 '즉시'는 불가능할 것이라고 봅니다.  내 기억에 이런 식의 짐작은 어떤 경우는 몇일 이상을 지나다가, 주로 책상'앞'에서가 아닌 , 버스를 타고 가너나 산을 걷다가, 심지어 잠을 자다가 '혹시' 이런건가?  이런 식으로 생각했던 ( 그것이 무슨 내용인지에 대한 기억은 당연히 없긴 하지만 ) 적이 훨씬 더 많았을 것 같습니다.   이런 시간적 '지연'의 문제는 '보조문제'를 통해서 해결해줄 필요는 있다고 봅니다.   냉정하게는 이런 '의문'을 오래 품는 것 자체가 매우 중요한 '훈련'의 요소이긴 하지만.

(1),(2)모두를 해결하여 - 삼각함수의 정의와 호도법 - 문제를 해결하는 것도 짐작하기 어렵습니다.  우선은 별개의 문제로 생각할 수밖에 없을 것입니다.   아무튼 (1)이 되든, (2)가 되든 이 문제를 해결하려면 결국 '원주율'에 주목할 수밖에 없습니다.    는 '원주율'을 나타내는 수이므로 이것은 정의가 확장되거나 새로운 정의가 필요한 것이 아니기 때문입니다.   그리고 삼각비가 '직각삼각형'에서 정의된 것이라는 것을 이용하려면 다음과 같은 그림을 그려서 어떤 단서를 찾아나갈 생각을 하게 될 것입니다.



여기서 를 '찾아내야' 합니다.    그럼 '원주율'을 무엇인가로 나타낼 수 있어야 합니다.    이때 '비율'을 '길이'로 나타낼 수 있다는 것이 이미 '쳬화'되어 있을 가능성은 매우 작다고 봅니다.  (  나는 '중학교'때는 '비율'을 '길이'로 나타낸다는 발상이 필요하면 언제나 생각하는 수준은 '절대' 아니었던 것 같습니다.  사실 중학교 '기하'에서 배우는 내용이었음에도 불구하고 )  그래서 이 그림에서  를 반지름이 인 반원의 호의 길이라고 생각하는 것도 쉬운 일은 아니었을 것입니다.   그런데 반대로 이런 경험은 이제 '비율'을 '길이'로 나타내는 것의 '체화'에 큰 도움을 주었을 것은 분명합니다.   이런 경험의 반복은 예를 들면,



이 문제를 해결하는 '하나의 방법'으로 다음과 같은 발상을 자연스럽게 해주는 '시험'에서의 직접적인 이득으로 나타나기도 합니다.



( 실제로 과거 내가 강의할 때 이 문제를 이렇게 풀었더니, '머리가 좋아야 가능'한 풀이라고 주변에서 이야기를 했습니다.  그 표현을 인정한다면 '머리를 좋게 만드는 방법'이 있는 것입니다.  )

아무튼 이런 생각이 되면 이제 '반지름'을 결정할 수 있으며, 사실 삼각비도 변의 길이의 '비'이기 때문에 문제를 해결하기 위한 그림에서 '원의 반지름'을 결정해도 관계가 없다는 확신을 갖게 됩니다.   이런 확신이 부족하면 다음과 같은 그림을 한번 더 그려서 생각해보면 이번에는 어렵지 않게 '확신'에 이를 수 있습니다.



이제 다시 원래의 그림으로 돌아가면 이제 반지름도 결정하였으므로 각각의 각을 어떤 '호의 길이'로 표현할까를 생각해볼 차례입니다.   그리고 이러면 매우 자연스러운 생각은 '원주각'의 개념일 것입니다.    즉,



이와 같은 식이면 어느 정도 확신도 생길 것입니다.   만약 문제가 였다면 이제 이 답은 라고 확신하고 이제 떨리는 마음 (?) 으로 답을 확인해보았을 것입니다.  유레카!   그리고 이제부터는 어느정도 '신'이 나서 - 나는 역시 천재다. 이런 생각도 마구 들었을 것이고 - 다음 문제로 넘어갔을 것입니다.     이와 관련한 첫번째 ( 호도법과 삼각함수의 정의를 '배우고 나서' 풀게 되는 ) 교과서 예제를 잠깐 살펴보겠습니다.



이와 같은 '짐작'으로 이 문제를 해결해보면 '곧바로'  나의 '평범함'을 깨닫게 됩니다.   그 과정은 어떻게 될까요?  일단 (1)은  '틀린 답'이라도 구할 수는 있습니다.   그런데 (2)는.   그리고 '답'이 틀린 이유는?

한 가지의 '진전'은 있긴 합니다.  '각'을 '호의 길이'로 나타낸다는 발상입니다.   일단 '원주각'을 이용하여 나타낸다.   그런데 해결해야 할 문제는 '길이'가  입니다.     이제 '거꾸로' 호의 길이부터 먼저 표시하는 그림이 필요합니다.



그리고, 여기서 한 걸음도 나아가지를 못합니다.  왜냐하면 '직각삼각형'이 완벽하게 '실종'되기 때문입니다.   아마도 이때 라고 착각하여 그럼 중심각으로?  이런 식의 말도 안되는 '착각'도 - 말하자면 이런 식의... 내용에 대한 기억이야 당연히 없습니다 - 엄청나게 많았던 것으로 기억합니다.   어떻게든 각을 나타내는 방법으로 '호의 길이'라면, 직각삼각형이 만들어져야 하고, 그러면 그 길이의 범위를 로  만들어야  한다는 강박관념이 만들어내는 착각 같은.   이런 식의 착각은 금방 잘못을 깨닫게 됩니다.   그런데 이런 경험은 '시험'을 볼 때는 '저런 식의 착각'을 어떤 순간에도 - 한 마디도 정신적, 시간적 여유가 없는 조건에서도 - 하지 않게 만들어주는 효과로 나타났다고 확신합니다.

이 난관을 해결하는 것은 스스로는 쉽지 않았을 것입니다.   이럴 때 내가 자주 택했던 방법은 다른 비슷한 문제를 풀어보는 것이었습니다.   거의 본능적으로 - 왜냐하면 이런 식의 놀이 자체는 매우 어린 시절부터 어느 정도 익숙한 상태였기 때문에 - 뭔가 다른 문제에서 단서를 찾을 수 있다는 것을 알고 있었기 때문입니다.

그래서 이제 다른 문제를 찾아봅니다.   위에서 제시된 교과서의 예제 같은.    즉,  우선    부터 해결해보자.
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