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수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

발견적 과정으로 기본개념을 공부하는 과정과 물리

작성자
강필
작성일
2021-01-08 07:08
조회
196
( ' 수학문제를 바르게 읽기 위하여 생각해볼 내용'에 대해서는 더 이상의 의견이나 질문 등이 없으므로 이 글은 자유게시판에서 한 분이 이야기한 '발견적 과정으로 공부하는 물리'라는 주제에 대한 의견과 관련한 내 생각을 다루겠습니다. )

발견적 과정으로 문제를 해결하는 것은 상대적으로 '쉬운 일'이지만, 발견적 과정으로 수학의 기본개념을 공부한다는 것은 매우 '어려운 일'입니다.   왜냐하면 그 자체가 '수학의 역사'의 재현이기 때문입니다.    수학교육에 생각할 때  반드시 공부해야 하는 분이라고 할 수 있는  '폴리아'는 '발생과정의 수학'은 귀납적인 과학이라고 했습니다.   '완성된 수학'은 '연역적'이고.

  번역 출판된 폴리아의 책 목록

내 개인적인 경험으로는 '선행문제'를 '발견적으로 해결하는 과정'에서 새로운 수학적 개념의 필요성을 어느 정도 짐작할 수 있었던 경우가 조금 있었고, 대부분은 '해당 개념의 문제'를 풀면서 발견적으로 그 개념을 이해했던 적이 대부분이었던 것 같습니다.   가령 나는 '삼각함수의 정의'를 배우기 이전에 다음과 같은 문제를 풀었을 것입니다. ( 이것은 정확하게 기억할 수 없기 때문에, 예를 들어 정도라고 해야 할 것 같습니다. )



일단 문제부터 이해가 안되었을 것입니다.   삼각'비' - 삼각함수의 정의를 배우기 이전이라면 알고 있는 것은 '삼각비'일 뿐입니다. - 를 구하는 문제라고 볼 수밖에 없으므로 '직각삼각형'을 작도하고 이제  가 나타내는 각이 무엇인지 고민해야 합니다.  원주율을 나타내는 기호는 알고 있으므로 그것이 원과 무슨관계가 있는가를 고민해야 합니다.  아마도 지금 내 느낌상은 다음과 같은 그림을 그리고 고민했을 것 같긴 합니다.



삼각비를 '호의 길이'에 대해서도 정의하는구나.  일단 이렇게 판단할 수 있었을 것입니다.  이 판단까지는 '많은 시간'이 필요했을 것이고,  이렇게 짐작하는데는 '연습장'은 전혀 필요 없습니다.   그냥 저 그림과  라는 문제만 '머리속'에 넣어서 생각을 해보면 됩니다.   이런 류의 기억들은 좀 있긴 하지만,  이런 식으로 수학공부를 하는 것은 쉬운 일은 당연히 아닐 것입니다.  최소한 이런 식으로 판단할 수 있는 문제들이 계속 제시되어야 합니다.  즉, '길을 안내해주는 역할'을 하는.    그런데 내가 생각했을 것 같은 그 길이 '유일한 발견적 과정'도 당연히 아닙니다.  따라서 이런 경우에 대부분 '가르치는 사람'이 학생의 발견적 과정을 안내하고, 힌트를 제시하고 하는 맞춤형 '과제의 제시'를 반드시 필요로 할 것입니다.   그러면 가령 발견적 과정으로 배우는 개념에 관한  텍스트는 그럴 가능성 - 텍스트가 제시하는 발견적 과정이 아닌 다른 발견적 과정에 대한 가능성 -에 대한 코멘트도 필요할 것입니다.

'물리학'에서는 더욱 더 어렵다고 할 수 있습니다.   '물리학'의 역사가 그것을 말해줍니다.  수학의 역사, 그것도 중등과정에서 배우는 수학의 역사는 사실 상당한 부분이 기원전에 '연역적으로 완성된 수학'인 경우가 많습니다.   말하자면 기원전 수준의 인간의 발견적 과정을 바탕으로 만들어진,  그 수준의 인간의 연역적 사고로 완성된 그런 수준이라는 의미입니다.  ( 그렇다고 그 시기의 인간을 현대의 인간과 비교할 때 '수학적'으로는 무식하다고 할 수 있는 것이 절대 아니니다.  반면에 '물리학'적으로는 유명한 학자들도 정말 '멍청' - 이 표현은 기본적인 실례이긴 하지만 - 하다고 할 수 있고.  사실 이런 것이 수학과 물리학의 차이이기도 하고 )  일단 '운동학' ( 편의상 이렇게 표현하겠습니다.) 에서 '역학'으로의 발전 자체가 '발견적으로 쉬운 것'이 아닙니다.   그런 '역사'를 재구성해야 합니다.  결코 간단한 일은 아닐 것입니다.   가령 물리의 첫부분부터  갈릴레이-뉴튼으로 이루어지는 '역학의 정립과정'에 대한 깊은 생각을 필요로 할 것입니다.  ( 나는 간혹 이런 의미에서 이른바 뉴튼의 운동의 3법칙을, 1법칙은 갈릴레오 저작권 , 2법칙은 케플러 저작권 , 3법칙은 예수님 저작권...이렇게 말하기도 합니다.  )

'수학'과 다르게, '물리'에서는 또 하나의 차이점이 있습니다.   '과학'의 발견적 과정이란 대부분 실험이라는 것입니다.  물리학의 기본개념을 추론해가는 과정은 계속되는 실험이기도 합니다.   '수학'의 실험, 관찰, 조사는 '연습장' 위에서 가능합니다.  - 사실 이것이 수학의 대단히 매력적인 성격입니다. -  그런데 과학은?  일단 그것이 불가능합니다.   그러면 실험, 관찰의 결과를 '제시'할 수는 있을 것입니다.  그런데 그러면 '과학적 활동'으로 한계가 분명합니다.

개인적으로는 당연히 '물리'도 발견적 과정이 기본이 되어야 한다고 생각합니다.  그런데 현재의 교과서가 '이미' 그런 식으로 되어 있을 것이라고 생각을 합니다.   ( 수학과 좀 다르지 않을까..이런... 수학은 '탐구활동'등 발견적 과정에 비중을 두는 방향으로 많이 변하긴 해도, 아직도 기본적으로는 수학'교과서'는 연역적입니다.   '완성된 수학'의 특징이 기본적으로 그런 것이긴 해서 )  오히려 과학에서 문제가 되는 것은, 교과서 수준의 발견적 과정, 즉 실험,관찰.조사도 하지 못하는 '실제 현실의 문제'가 아닐까 생각은 합니다.

내가 '물리'에 대해서 가령 교과서도 실제로 찾아보고 하는 식으로 '깊게' 생각해볼 시간은 없어서 관련된 내용에 대해서는 이 정도 생각 이상은 이야기하기는 어려울 듯 합니다.   '물리'에 대한 나머지 이야기는 관심있는 분들이 있으면 자유게시판 같은 공간에서 더 이야기를 하시면 될 듯 합니다.    '수학'은 이런 성격의 컨텐트 - 발견적 과정으로 배우는 수학 - 는 수놀음이 관심있는 선생님, 강사를 통하여 보급하기 시작할 것입니다.   그리고 어느정도 완성되면 수놀음 사이트를 통한 공개적인 배포도 당연히 할 것이긴 합니다.

일단 이 글의 내용과 관련한 발견적 과정으로 수학의 기본개념을 공부하는 예시를 소개하는 것으로 글을 맺도록 하겠습니다.  이 예시는 실제 삼각함수 개념을 발견적으로 이렇게 공부한다는 의미는 아닙니다.   ( 실제 삼각함수의 발견적 과정은 뉴튼의 생각을 역사적으로 따라해보는 것으로 시작을 합니다. )  글의 이해를 돕기 위한 예이고, 이런 예는 오히려 수놀음 컨텐트에서는 '수학의 기본개념을 소재로 한 '놀이'에 해당하는 성격이 더 많긴 합니다.    이런 '놀이'에서 재미를 느낄 수 있다면,  수학에서는 심지어 '시험성적'도 큰 걱정은 할 필요는 없을 것이라고 확신은 합니다.

전체 2

  • 2021-01-08 22:32
    글 읽으면서 떠오르는 학자 두명이 있습니다.
    한명은 푸리에입니다.
    처음 대학교 입학했을당시 수학은 수학 스스로 독자적으로 참인 명제의 체계를 발전시켰다고 생각했는데
    푸리에는 열역학을 탐구하면서 특정 함수를 삼각함수의 선형결합으로 표현할수 있지 않을까 하는 오일러의 아이디어를 발전시켯다는 것을 보면서 수학의 발견적인 속성을 알게되죠.
    두번째는 맥스웰인데, 물리가 발견적인 학문임에도 불구하고 순전히 연역적으로 식을 이끌어내어서 전자기학의 토대를 마련하죠. 참 대단한 사람입니다.

    과학의 기본은 귀납적 추론이고
    수학의 기본은 연역적 추론이지만
    역사를 보면 이 두개가 상호작용한다는게 참 재미있엇네요.

    옛날 사람들이 수학자이면서 과학자이면서 철학자인 이유가 있었습니다. 연결되어잇기때문에 탐구의 영역이 닿을수밖에없엇거든요.

  • 2021-01-10 09:29
    링크에 걸린 책들은 예전에 잠깐 소개했던적이 있습니다.

    http://gg.gg/nscmi

    책이 궁금하신 분은 글 아래에 쓴 책에 대한 제생각을 참고해보셔도 좋을 듯 합니다.