수학

Home/수학
수학 2017-03-28T12:25:19+00:00

문제를 제대로 읽지 못하는 이유 [2] - 2020 9월 나형 20

작성자
강필
작성일
2021-01-05 10:10
조회
534
질문 내용은 이전 글 ( 이전글 보기 )을 참조하면 되는데, ' 수험생'일 때의 '경험'을 질문한 것 같습니다.   그런데 '다시 시험을 보아야 하는 관점'에서의 질문과 그런 경험을 한 '대학생'이 '과외' 등을 할 때 '가르치는 관점'에서의 질문인지를 생각해보면 앞 쪽에 가까운 것 같습니다.   그럼에도 이 글은 '가르치는 사람'이 생각할 내용에 대해서 - 즉 '그런 경험'을 한 대학생이 '과외'를 할 때, 과외받는 학생이 '같은 잘못'을 반복하지 않도록 가르칠 때 생각해보아야 할 내용들 - 쓰도록 하겠습니다.   수험생의 입장에서 ( 아마 질문은 수험생의 입장에서 한 것 같긴 해서 )는 글의 내용을 '참조'하는 정도로 하기 바랍니다.  ( 그리고 수험생은 XO학습법 공간에 질문하는 것이 '수험생'의 입장에서 생각해볼 문제에 대한 이야기를 들을 수 있습니다. )





이 경험에서 얻을 수 있는 교훈의 핵심은 (가) 조건을 보고 - 그런데 평가원의 '친절함' ( 즉 하나는 이차함수, 하나는 일차함수임이 명백하게 보이는 조건 (나)와 (다) )이 위와 같이 '작용'하게 된 것입니다.



( 이렇게 '가르치는' 분들이 있는지는 모르겠습니다.   내가 접할 수 있는 것은 '해설'이라고 우기는 '동영상 풀이' 의 일부 정도인데,  이런 표현은 본 기억은 없고, 이런 '느낌'으로 '기본개념'이라고 강조하는 듯한 느낌은 받는 것 같고.   )

아무튼 위 경험을 한 학생의 '고정관념'이 이런 식으로 '평소에 공부할 때 형성'되어 있기 때문입니다.    이런 고정관념을 갖고 있는 학생에게는 '불행'하게도 평가원은 하나는 이차함수, 하나는 일차함수임이 '명백'한 조건(나)/(다)를 제시합니다.   이때는 평가원은 '친절'한 것이 아니라, '잔인'한 출제진이 됩니다.    그런데 명백하게 보이는 두 함수 는 '접하지 않기 때문'에 이제 로 두고.... - 물론 이 과정 각각에서 '시행착오'를 극복하는 방법에 대해서도 '가르치는 사람'은 가르쳐야 합니다.   이 문제는 '그렇게 해결하는 것이 아니야.' 라고 하는 것은 '부족한 것'입니다.  실제 시험을 볼 때 시행착오를 겪고 있는 상황에서, '그 시행착오를 어떻게 극복했어야 하는가'를 알려줄 필요가 있습니다.  '시행착오' 자체가 잘못은 아니기 때문에.   -

" 문제에서 제시된 함수 조건이 '다항함수'가 아니고, '연속함수'이다.  "

만약 이 문제에서 이 것을 강조한다면?   이제 이 다음부터는 '연속함수'라는 조건만 보면,  아마도 '다항함수'는 아님.  이런 주의를 메모할 지도 모르겠습니다.  일단 수학적으로     입니다.    이 문제에서는 연속함수라는 것이 결과적으로 '다항함수'가 아닌 - 구간별로 다항함수라고 표현하겠습니다. - 것이 되었지만,  다른 문제에서는 연속함수라고 했을 때, '다항함수가 아닐 가능성'도 염두에 두어야 하는 정도입니다.     그런데 이런 식이 되면 가령 지난 글에 소개한 교과서 예제 (  교과서 예제 지난 글 보기  )는 문제를 해결하는데, 오히려 '손해'인 '가능성의 염두'가 되거나 혹은 문제를 이번에는 '다항함수가 아닌 가능성'을 고려하다가 시행착오를 겪게 되는 '희극'이 ( 한번은 비극으로, 한번은 희극으로는 언제나 적용가능합니다.  본질적인 원인을 찾아 문제를 해결하지 않는 한 ) 나타날 수 있는 것입니다.

이전 글에서 이야기한 것처럼, 이 문제에서 '다항함수'가 아닌 '연속함수'라는 조건에 주목하지 못했다고 반성하는 것은 '내용적으로'는 이 문제가 "구간별로 정의되는 함수를 정적분 문제로 출제한 새로운 유형"이다.  라고 진단하는 것입니다.   그래서 '다항항수'가 아니라 '연속함수'라고 주어졌다...이렇게 말하는 것입니다.

일반적으로 고등학교 과정의 제한은 '적분'에서 연속함수만 가능합니다.  따라서 적분 문제에서는 '연속함수'라는 표현은 '자연스럽게' 등장할 가능성도 매우 높습니다.   ( 사실 '미분가능한 함수'라는 표현을 비롯하여 문제의 조건으로 등장하는 표현을 잘못 이해하면 평가원이 제시하는 그 표현의 배경과 의미를 이해하기 어렵습니다.   기출문제에서 출제'된'  용어의 의미에 대한 '기억'에 머물게 됩니다.  즉, 기출문제의 '풀이'에만 집착하는 결과를 만들어냅니다.   이와 비슷한 내용에 대한 이전글은 '미분가능한 함수'에 대해서 잠깐 언급한 내용 ( 미분가능한 함수 조건이 제시된 문제에 대한 이전글 ) 을 참조해보기 바랍니다.   이전글에 나오는 가형 15번 문제의 '미분가능한 함수'라는 표현과 나형 20번 문제의 연속함수라는 표현은 거의 '같은 취지'의 표현입니다.   - 즉 누군가 나형 20번의 연속함수라는 표현의 '중요성'은 강조한 사람이라면, 가형 15번 문제의 '미분가능한 함수'라는 표현을 강조하고, 그 의미를 설명해야 합니다.   과연 그렇게 할까는 의문입니다.  )

중요한 것은 '다항함수라는 표현이 아닌 연속함수'라는 표현에 '주목하지 못하게 하는' 이유...여기에 있는 것입니다.   '문제를 바라보는 관점, 문제해결에 대한 관점'과 같은 보편적인 이유도 있습니다.   ( 사실 개인적으로는 현재 인강의 가장 큰 문제는 이런 것이긴 합니다.   그런 인강 = 동영상 풀이집이라고 관점을 명확하게 하지 못하고 인강 = 개념정리 또는 인강 = 해설... 이렇게 생각하는 순간 어쩌면 거의 벗어날 수 없는 )  그런데 이런 보편적인 이유는 '아무리 추상적이고, 구체적으로 무엇을 어떻게 해야 할 지 막막하다'고 해도, 평가원이 발표한 '학습방법 안내'를 기준삼아, 바로잡지 않아야 하는 것입니다.   반대로 그러면 또 해결되기도 하는 것입니다.

를 만족하는 k의 값을 찾자는 생각은 그 자체가 수학적인 개념의 '부족'입니다.   - 정확하게는 항등식에 대한 개념의 부족입니다. -   더 나아가서 가르치는 사람은 이른바 '내신문제' 같은 것을 출제할 때, 또는 그런 '내신을 대비하는 문제집'에서 다항식의 인수에서 숫자가 '문제의 핵심요소'가 되는 그런 문항 - 다항식의 계수가 중요하다는 것과 완전히 다른 성격입니다 - 들을 '정확히 걸러주지' 못한 것도 한 이유임을 인지할 수 있어야 합니다.  ( 그런데 이것은 환경적인 요소라 수놀음에서 이야기할 수 있는 성질은 아닌 듯은 합니다.  )  그런데 아무튼 '개념의 부족'하여 k의 값을 찾지 못하고 있을때,  심리적으로 동요를 일으키는 이유는 다른 문제입니다.

결국,   단 하나의 이유라고 할 수는 없지만,  근본적인 이유라고 할 수 있는 것은 애초에

,          

이런 것이  공부과정에서 '반복'되어온 것이 문제입니다.    아마도 이것이 '중요개념'이라고 생각하고, 이제 이 '중요개념'이라는 것을 이용하여 이것이 적용되는 문제를 반복하여 해결하고,  대부분 저런 식이면 해결되는 '모의고사' 문제를 맞히면서 '성취감'을 느끼고...   그러면 당연히 시험을 볼 때 (가) 조건에 대해서 '수험생의 뇌'는 조건반사적으로 반응할 수밖에 없습니다.   그리고 이제부터 문제를 맞히고 틀리고는 그런 상황에서의 소위 말하는 멘탈 경쟁력,  이런 저런 시행착오 끝에 '구간별로 다르게 정의된 함수'를 찾아서 해결하는 '시행착오의 극복능력',  이런 '수학외적 능력'으로 판가름 나는 것입니다.

   : 두 함수의 그래프의 위치관계 ( 일단 함수의 그래프 문제라고 전제하면 )를 나타내는 표현일 뿐입니다.   그 이상은 '문제가 묻고 있는 것'을 보고, 문제에서 주어진 함수를 보고 가능한 여러가지 방법 중에 - 평가원은 이런 경우 생각하는 것만으로 선택할 수 있도록 문제의 모든 요소를 명확하게 밝히는 것이 원칙입니다.   그래서 이 문제에서는 (나)/(다)조건을 그래프의 위치관계를 묻는 문항임을 명확하게 하기 위하여 보는 것만으로도 생각해야 할 함수를 명확하게 제시한 것이고. -  어떤 선택을 하면 됩니다.    이 때 '굳이' 무엇인가를 '정리'하고 싶으면,  다음과 같이 정리할 수는 있습니다.



이에 대해서 이전에 쓴 글이 있긴 할 것입니다.   ( 그래프의 위치관계에 대한 이전글 보기 )  물론 저 이상의 구체적인 내용은 '정리'가 불가능하다고 해도 과언이 아닙니다.   대부분의 경우에 '직선'과의 위치관계에서는 '접할 때'가 기준이 됩니다.   그런데 그것 이상도 이하도 아닙니다.   그런데 거꾸로 '문제가 묻는 것'이 '그래프의 위치관계'임도 모르고 - 가령 이 문제를  로 해결하는 사람은 '그래프의 위치관계'를 묻는데, 하나의 함수가 직선이면 '접할 때'가 기준이다... 이런 것을 '강조'하면 안됩니다.    왜냐하면 이 문제는 자신이 강조한 말을 자기 스스로 지키지 못하는 것이니까 -

이 문제에서 조건 (가)를 보고, 접할 때를 '기준'으로 생각하자.

일단 '아무런 문제'가 없는 것입니다.  왜냐하면 하나는 곡선, 하나는 직선임이 분명하기 때문입니다.   물론 이때 이차함수에 직선이 접하는 '그림'이 그쳐졌을 것입니다.  역시 아무런 문제가 없습니다.  왜?  그런 문제들을 대부분 풀어왔기 때문에 '당연한 것'입니다.    문제의 핵심은 다른 이유 - 이제 이 문제가 아닌 다른 문제를 소재로도 계속 반복적으로 논의해볼 수 있기를 기대합니다. - 에 있는 것입니다.

가르치는 사람들이 와 같은 '잘못된 관성'을 만들어주면 안 되긴 하지만,  예를 들어 수험생이라면, 처음부터 기본개념부터 다시 수학을 배울 수도 없는 노릇이긴 합니다.  이미 저렇게 형성된 잘못된 관성이 있을 수밖에 없습니다.  그 관성을 없애주어야 합니다.    어떻게?   그러니가 '저렇게 문제를 해결하지 말아라' .  이것은 당연히 '최악'입니다.   왜냐하면 여전히 저렇게 해결할 수 있는 문제가 '대부분' ( 즉, 안정적으로 2등급 정도는 가능한 )일 것은 분명하기 때문입니다.    그런데 그 이상을 목표로 한다면 '저런 식으로'는 부족하다.

개념을 공부하는 과정에서는 일단 생략하겠습니다.   저런 것은 '문제해결의 한 방법'일 수 있다 정도로 가르치면 될 것이긴 합니다.  특히 2등급에도 이르지 못한다고 하면,  뭐 '중요개념'이라고 좀 억지를 부리면서 강조해도 무방하다고 생각합니다.   아무튼 문제해결의 관점에서는 저런 '풀이방법의 암기' (아무리 포장해도 저것은 문제의 풀이를 암기하는 것 이상도 이하도 아닙니다.) 가 통하는 문제에서 '왜'  접할 때를 기준으로 해야 하는가를 가르쳐야 하는 것입니다.   그것은 당연히 '문제에 주어진 상황, 조건, 문제가 묻는 것'을 정확하게 읽어내는 훈련의 반복이 될 것입니다.
전체 4

  • 2021-01-05 14:18
    선생님, 제 문의에 답해주셔서 감사합니다. 10년만에 수능을 재도전하는 것인데도, 아직도 뭐하면 뭐해에대한 관성이 남았음에 크게 놀랐습니다...조언해주신 바와 같이 훈련하도록 하겠습니다^^ 매번 좋은 글들을 남겨주셔 감사할따름입니다.

    • 2021-01-05 19:01
      10년만에 수능을 재도전하는 것인데도, 아직도 뭐하면 뭐해에대한 관성이 남았음 -> 따라서 모든 것을 백지화된 상태에서 다시 '시작'한다고 생각하면 '시간이 부족할 것'입니다. 그것이 통할때가 많긴 하지만, 그것으로 '부족'하다. 이런 생각으로 대비하기 바랍니다. 그리고 수험생이면 가능하면 XO학습법의 질문/답변란을 이용하시고. 노력한 만큼의 성과가 나오길 바랍니다. ''꾸준함이 기적의 유일한 비결이다." '긴 시간의 조언'이 필요하면 산행 - 기본적으로 3시간, 4시간은 확보될테니 -을 신청하시면 되고. 산행중의 '과외'(?)는 당연히 무료(?)입니다. ^^

    • 2021-01-06 03:38
      그런 수업이 예전에도 있었군요!! 요즘도 몇몇 강사(많진 않지만 어느정도 분명 있습니다)들도 그런 수업을 했는데 지금까지도 이어져 온 거 군요... 가끔 그런 풀이가 오히려 안 먹히면 어쩌나 하는 노파심이 있습니다... 주변에도 많은 학생들이 그런 수업 방식을 따르는 모습이 상당히 많이 보입니다... 특히 기출문제를 소재로 자신 만의 풀이 강령을 만드는 것을 소위 기출분석이라고 생각 하는 학생들이 전체의 반은 넘을 겁니다(자의인지 타의인지 모르겠습니다 비판의 목적은 아닙니다)
      현장에 있는 저로서는 되게 의아한 느낌을 많이 받았습니다..

  • 2021-02-24 10:39
    산행을 신청하려면 어떻게 하면 될까요??