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문제를 제대로 읽지 못하는 이유 [1] - 2020 9월 나형 20

작성자
강필
작성일
2021-01-04 06:18
조회
197
 

시험을 볼 때 문제를 제대로 읽지 못하면 당연히 문제 해결에 어려움을 겪을 수밖에 없습니다.   보통 이렇게 문제를 제대로 읽지 못한 것은 '실수'라고 말하는 경향이 있습니다.   '가르치는 사람'은 이에 대해서 무엇을 조언해주어야 할까요?

 

가장 '무책임한' 이야기는 '넌 시험볼 때 정신을 어디에 두냐?'고 책망하는 것입니다.   그런데 이런 경우 - 시험을 볼 때 집중하지 못하는 경우 - 는 '거의 없다'고 가정하는 것이 '가르치는 사람'의 올바른 태도입니다.   '집중하는 정도'를 '뇌파'로 측정할 수 있는 방법이 있는가는 잘 모르겠습니다.  그것이 기술적으로 가능하다고 가정하겠습니다.   시험을 보는 학생의 집중도를 실제로 체크해보면?  당연히 정도의 '차이'는 나타날 것입니다.  그러면 이때 평균적인 수준 이상이면 '집중하지 못한다'고 할 수 없습니다.   그렇게 전제할 것이 아니라면, '집중하는 정도'늘 늘리는 어떤 교육과 훈련이 이루어져야 합니다.    그런 교육과 훈련 프로그램을 제시할 수도 없으면서 '넌 왜 집중을 못해'라고 하는 것은 '무책임의 극치'라고 해도 할 말이 없을 것이라고 봅니다.

 

과거에 강의를 할 때, 유난히 시험을 볼 때 '실수'가 증가하는 이유는 집중하지 못해서가 아니라 '평소보다 더 집중하기 때문에',  '두뇌의 활성화'가 평소보다 더 활발하기 때문에 오히려 '실수'라고 하는 '반복되는 잘못'이 나타날 가능성이 더 높아지는 것이라고 했던 기억이 있습니다.  만약에 '두뇌의 활성화'를 측정한다면 - 기술적으로 가능할 것인지는 모르겠으나 - 이 '역설'같은 이야기는 통계적으로 증명될 것이라고 확신 합니다.   그렇다면 왜 '더 집중'하고 있는데, 문제를 '제대로' 읽지 못하는가?

 

발견적 과정으로 수학의 개념을 공부하고,  수학 문제를 해결한다고 해도 문제를 제대로 읽는 것이 전제되어야 합니다.  따라서 우선은 이 문제부터 생각해보겠습니다.

 

" 왜 문제를 제대로 읽지 못하는가? "

 

이야기할 소재로는 이른바 평가원'표' 문제가 가장 적절합니다.   가장 많은 예산이 투입되고, 가장 '치열'하게 검토된 문제이기 때문입니다.   현실적으로 '제대로 된 수학공부'가 최소한 '수능'은 잘 볼 수 있게 해주어야 하기 때문입니다.

 



 

정답률이 매우 낮은 문항이었다고 들었습니다.    문제에 대한 논평을 부탁받아서 이 문제의 '동영상 풀이' - 앞으로 가능하면 '해설강의'라는 표현 대신에 이런 용어를 사용할까 합니다. - 도 몇 개는 보았습니다.   이 문제에 대한 충격적인(?) 진단은 '구간별로 정의된 함수'를 출제하였다.  이런 문제는 새로운 유형이었으며 그래서 틀린 학생이 많았다'는 것이었습니다.   그런데 '구간별로 정의된 함수'는 같은 시험지에만도 몇 문제가 있습니다.

 



 



 



 



 

6,10번은 문제에서 제시된 함수가 구간별로 다르게 정의되어 있으며, 18번도 마찬가지입니다.   절댓값 표현이 의미하는 바는 '구간별로' 다르다는 것이기 때문에.  21번은 수열이 정의역이 자연수인 '함수'임을 생각하면 역시 '구간별로' 다르게 정의된 - 이 문제는 약간은 성격이 다르긴 하지만 - 함수라고 볼 수 있습니다.

 

그런데, 유난히 20번의 해결에서 그 특성 - 구간별로 다르다 - 때문에 어려운 문제라고 하면, 그것은 '구간별로 다르게 정의되는 함수'이기 때문은 분명히 아닙니다.    그럼,  '적분'문제로는 처음이라서?  역시 사실이 아님을 찾는 것은 어렵지 않을 것입니다.  의 값을 어떻게 구하라고 '강조하는 가'를 생각해보면 '적분문제로 구간별로 다르게 정의되는 함수'가 주어져서..는 '문제를 틀린 학생'의 사실관계에 불과한 것입니다.  가르치는 사람은 그런 '사실관계'로부터 무엇인가를 분석하고, 대안을 제시할 수 있어야 합니다.  '가르치는 것'은 '사실을 기록하는 것'이 아니기 때문입니다.

 

20번 문제가 무엇을 묻는지를 '평가원'이 '노골적으로'(?) 나타내고 있음에도 읽어내지 못하고 있기 때문입니다.

 

(가) 조건을 보고, 이 문제가 묻고 있는 것이 임을 읽어내지 못하기 때문입니다.     왜?  평소에 '익숙한' (나)/(다) 조건에 '눈이 먼저 가기' 때문입니다.  - 실제로 많은 동영상 풀이는 (나)/(다) 조건부터 먼저 해결하고 있었습니다. -  물론 그렇다고 해도, 문제를 '반드시' 틀리는 것은 아닙니다.   하지만 그렇게 시작된 '관성'에서 벗어나는 것은 '과학적으로' 힘든 것입니다.  ( 관성의 법칙은 물리, 따라서 '모든 사물의' 근본이치입니다. )  (나)/(다) 조건에 눈이 먼저 간 상태에서 '논리적으로'  두 함수가 전체구간에서 하나로 결정될 수 없다는 것을 읽어내는 것은 쉬운 일이 아닙니다.   그래서 많은 사람이 이 문제를 '새로운 유형'이라고 생각합니다.

 

개인적으로는 이 문제의 해결방법으로  라고 두는 '신박한' 풀이도 본 기억이 있습니다.   물론  이렇게 '해결하는 것'도 가능하며, 논리적으로는 전혀 문제가 없습니다.  이 문제의 '다른' 풀이로 적절합니다.   그런데 단서는 있습니다.  이 문제의 '다른' 풀이를 이렇게 소개할 경우에 '시험을 볼 때 시간단축'이나 이런 것을 '강조'하면 이율배반입니다.   더 나아가서 그렇게 하는 이유가 (가) 조건이 를 의미한다는 것을 정확하게 설명해주어야합니다.   그리고 이렇기 때문에 지금 문제에서는 라고 계산하는 것은 완전히 '코메디'입니다.  왜냐하면 지금 문제에서는 하나는 이차함수, 하나는 일차함수이기 때문입니다.    아마 이 문제를 를 이용하여 계산하는 풀이를 제공하는 사람도 이차함수와 일차함수의 위치관계를 물으면 절대 그렇게 계산하지는 않을 것은 분명합니다.   그래서 냉정하게 말하면 자기가 무엇을 하고 있는지 모르고 있는 것일 뿐입니다.

 

문제가 두 함수의 그래프의 위치관계를 묻는 것을 이해하면, (나)/(다) 조건는 '직관적으로' 명확하게 보이게 구성한 것입니다.  평가원'다운' 친절함으로 .  심지어 (다) 조건에서는 더 이상 인수분해될 수 없는 를 인수로 제시하면서.  왜냐하면 이 식이 인수분해된다면, 가령 로 제시되면 이 식을 인수분해하는 것도 고려 - 물론 이 경우도 식을 이렇게 주었다면 우선 곱해진 두 식을 더해보는 것이 먼저이지만 - 해야 하기 때문입니다.

 

즉, 이 문제는 이렇게 '읽혀져야' 합니다.

 

의 그래프의 '위치관계'는?

 

(나)/(다) 조건이 복잡하게 주어지면 문제를 이렇게 읽어내기 어렵습니다.  왜냐하면 위치관계를 결정해야 할 그래프를 어떤 식의 변형이나 연산으로 얻어야 하기 때문에 신경이 분산될 가능성이 있습니다.  그래서 '한 눈에 분명하게'  준 것입니다.   문제가 묻는 것을 명확하게 드러내기 위하여 (가) 조건의 위치는 사실 가장 뒤에 제시해도 무방하지만 - 조건 제시의 논리적 구조로 문제가 없습니다. - 먼저 제시한 것이고.

참고로 이차함수와 일차함수의 그래프의 위치관계가 '시험범위'인가?  이런 질문이 있었습니다.   왜냐하면 그것은 이차방정식의 실근의 문제일 뿐이기 때문입니다.   그런데 이것은 수능은 '내용영역'은 소재에 불과하고 '행동영역'을 평가하기 때문 - 이 내용에 대해서도 구체적인 문제를 소재로 논의를 할 수 있기를 바랍니다. - 입니다.   이때 '소재'는 '누구나 이 정도는 알지 않는가?' 면 충분할 뿐입니다.   이 문제는 그래서 내용영역 '소재'의 입장에서만 보면 '이차방정식의 실근으로 그래프의 위치관계를 결정하는 내용' < 정적분의 계산.  이런 비중을 갖고 있습니다.  ( 간접출제범위와 직접출제범위의 이런 비중에 대한 이야기도 중요한 부분이긴 하지만 여기서는 생략합니다.   이런 부분들에 대하여는 구체적인 문제로 질문하면 내가 생각하는 답변은 언제든 해드릴 것입니다. )

 

문제를 이렇게 읽지 못하는 이유를 '가르치는 사람'은 찾을 수 있어야 합니다.   그래야 '문제를 제대로 읽을 수 있도록 '도와줄 수 있기 때문입니다.

 

이 글은 논의를 위한 일종의 기조발제와 같은 글입니다.   이제 이 주제 - 문제를 제대로 읽지 못하는 이유 -의 다음 편은 커뮤니티 구성원의 참여 - 의견 또는 구체적인 문제를 소재로 하는 질문 등 - 로 채워져갈 것입니다.    내 가설은 다음과 같습니다.

 

" 공부과정에서 형성된 잘못된 관성이 문제를 있는 그대로 읽는 것을 방해한다. "  

 

(참고)  기조발제와 같은 형식으로 제시한 글에 대하여 커뮤니티 구성원의 참여가 없으면 다음 주제에 대한 기조발제는 대략 보름 정도의 간격으로 제공하는 정도로 운영하겠습니다.   커뮤니티 구성원의 참여에 의하여 다음 글이 계속 제공되는 경우에도 주제의 전환은 대략 보름 정도의 간격으로 진행하면 현재의 커뮤니티 수준에서는 충분할 것이라고는 생각합니다.

 

주제로 제시한 내용이 아닌, 예를 들어 " ***년 수능 **번은 학생에게 발견적 과정을 어떻게 제시해야 하는가? "와 같은 '단발성 질문'은 그때 그때 별도로 처리하겠습니다.
전체 2

  • 2021-01-04 18:51
    저 문제를 틀린 기억이 납니다.
    몇 번 풀어봐도 감을 잡지 못했는데
    답을 보곤 쉽다 생각했습니다.
    그리고 집중을 못했다, 문제를 많이 안 풀어봐서 요령이 부족했다 이런 황당한 진단을 내린 것 같습니다. 저조차도 그 진단이 틀렸단 걸 어렴풋이 알고 있었기에 합리화하기 힘들었지만요


    지금 생각하면 사고가 경직되었고 기초적 간접범위 수학의 공부가 너무 부족해 수학의 기본적인 내용들이 익숙하지 않았던 것 같습니다.
    입사한 지 얼마 안 되 상사의 얼굴과 이름을 겨우 외웠는데 밖에서 화장이나 옷을 좀 다르게 입고 지나가면 잘 못 알아보는 그런 느낌.. 함수 그래프 같은 것이 제게 그랬던 것 같습니다.

    칼럼 참고해서 발전해 보겠습니다. 좋은 글 감사합니다.

  • 2021-01-05 02:10
    안녕하세요, 강필선생님, 문의드리고자 합니다.
    제 케이스도 이른바 '실수'라고 잘못 칭하는 익숙한 문구에만 초점이 맞춰진것인지 문의드립니다..

    위문제를 처음 봤을 때, 바로 두 함수를 확실히 이미 주고 푸는 문제까지는 확인했습니다. 그런데 저는 각각을 k(x^2+1) 와 (3x -1)/k 두 개로 보아야 한다고 생각했고, 어떤 '특정한 k'는 위 두함수를 접하게 할 것이라고 가정하여 계산했습니다(물론, k값의 변화에 상관없이 x=1,2에서 만나는 것임에도 불구하고, 일차함수의 기울기 변화만 있으면 2차함수에 접하게 될 것이라고 생각했습니다.) 결국, 시행착오 끝에 그런 K값을 구하지 못함을 깨달았지만, 끝내 구역에 따라 2차함수이다 1차함수이게 되는 생각은 못했습니다. 선생님 글을 끝까지 읽고 아차 싶어 풀게 되었고, 그제서야 그냥 연속함수 f 와 g에 대한 문제단서가 보이더라구요. 멋대로 완전한 다항함수라고 가정을 깐 것 같습니다. 생각해보니 첫조건 f>=g을 2차함수에 대해 접하는 1차함수만을 보고 있었더라구요...

    어떻게하면 이러한 일을 막을 수 있을지 답닥하네요