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산정무한 2017-03-28T12:25:30+00:00

같은 문제, 다른 '해석'

작성자
강필
작성일
2020-06-24 06:44
조회
1510
( 오래만에 쓰는 글입니다.   특별한 이유가 있어서 글을 못 올린 것은 아니었고, '핑계'가 있다면 '수놀음' 사이트의 성격에 대해서 좀 고민하는 시간을 갖고 있습니다.   '수놀음'이 지향을 고민하는 것은 아니고, 이 사이트의 성격을 애초에 생각한 공부하는 학생을 대상으로 하는 것에서, '가르치는 사람'을 위한 곳으로 바꾸는 것을 고민중이긴 합니다.  무엇보다 '현재 상황'이 사실 그렇고,  '배우는 학생'을 대상으로 하는 사이트는 컨텐트를 기반으로 '별도로' 만드는 것이 필요할 수 있다.  이런 생각이 들기도 합니다.  아무튼,  이런 내용은 좀 정리되면, 그 방향에 맞게 '정비'를 할 수는 있을 것입니다.  이 글은 '학생'을 대상으로 하는 글보다는 '가르치는 사람'을 대상으로 하는 글이기도 합니다. )



이 '그림'이 포함된 문제에  대한 문의가 있었습니다.   '각의 이등분선'의 성질을 알면 '유리한' 문항이 아닌가?  그렇다면, '각의 이등분선의 성질'을 알아두어야 하는 '내용'이라고 보아야 하는가?

 

우선, 이 문제는 '각의 이등분선의 성질'을 이용하여 해결할 수 있다.   이것은 '참'입니다.    일반적으로 '기하문제'는 어떤 어떤 기하적 성질을 이용하면 해결할 수 있다.   이런 이야기는 대부분 '참'입니다.   ( 사실, 기하문제뿐 아니라 '수학문제'는 거의 대부분 이런 성격을 갖고 있습니다. )  따라서 이 문제의 '풀이'로 '각의 이등분선의 성질'을 이용한 '풀이'는 '가능한 여러가지 풀이 중의 하나'는 충분히 될 수 있습니다.

 

그런데 이 문제를 통해서 '무엇인가의 배움'을 얻으려고 할 때, 이 문제를 어떻게 '해석'할 것인가는  좀 '다른 성격'의 문제입니다.  예를 들어서, 이 문제를 통해서 '앞으로 출제될 문제의 경향'을 추측하고 싶다고 한다면.  ( 그리고 사실, 이 문제의 '분석'은 이런 내용을 담고 있어야 마땅하긴 할 것입니다.  단지 이 문제를 해결하는 여러가지 방법 중의 하나를 소개하는데 그친다면,  그것은 '동영상 풀이집'에 불과한 것이기 때문입니다.   그것도 '출제의도'와 - 매번 이야기하지만, 출제의도에는 '각의 이등분선의 성질을 이용해서 풀어도 좋다.  이런 것도 포함되긴 하지만, '좁은 의미'의 출제의도는 그것과 다릅니다. - '다른' 풀이의 하나에 불과한 것이 될 수 있습니다.   그래서 그런 '해설'은  '이 문제를 이렇게 풀 수도 있구나'  하는 정도로 참조하면 그만입니다. )

 

요즘은 '팩트 체크'라는 말이 유행이긴 합니다.   심지어 그런 사이트도 생겼다고 듣기도 했습니다.  사실, 수능시험과 관련한 '팩트 체크'의 원칙은 매우 간단합니다.   평가원이 모든 자료를 통해서 '매우 상세하게' 팩트 체크할 수 있는 자료와 방침을 공개하고 있기 때문입니다.

 

팩트 체크.  '각의 이등분선의 성질'은 교과서의 기본적인 성질인가?

 

당연히 아닙니다.   누군가 각의 이등분선의 성질 정도는 교과서의 기본적인 성질로 해야 한다는 '교과과정의 내용'을 변경할 것을 주장 - 사실 '수학적'으로 이런 주장을 할 사람은 없을 것이라고 생각은 합니다.  그런 수준의 성질이 교과서의 '기본적인 성질'이 된다면, 교과서에 서술할 내용은 엄청나게 증거할 수밖에 없습니다. - 할 수는 있겠지만,  아무튼 현재의 교과과정에서는 교과서에 서술된 기본적인 성질이 아닙니다.   어떻게 확인가능한가?  간단합니다.  중학교 교과서를 찾아보면 됩니다.

 

따라서, 이 문제의 '해설'에서 '각의 이등분선의 성질'을 이용하여 문제를 해결하는 분이 있다면, 그 분은 최소한 '평가원의 출제의도'를 이야기할 자격은 없습니다.   시험문제는 출제의도건 뭐건 아무튼 이런 저런 방법을 이용해서 맞히는 것이 중요하다.  이런 관점을 갖고 있어야 이 문제를 '각의 이등분선의 성질'을 이용하여 해결하는 것으로 '해설'을 할 수 있는 것입니다.

 

팩트체크.  그렇다면 이 문제는 '교과서에 서술된' 기본적인 정의, 성질'만'을 이용하여 해결할 수 있는가?

 

당연히 '참'입니다.  뿐만 아니라, 나의 개인적인 견해일 수도 있지만, 그럴때 가장 '효율적으로', 그리고 가장 '안정적으로', 그리고 매우 '필연적인 과정'으로 이 문제는 '간단한 계산'으로 해결할 수 있습니다.   ( 이 문제의 '풀이'를 이야기하는 것이 목적은 아니기 때문에, 이 '풀이'는 글을 읽은 분들의 몫으로 남겨두겠습니다.   충분히 찾아낼 수 있는 성질의 것이기도 하니까... )

 

팩트체크.  이 문제를 '틀린 학생'들은 - 틀린 학생의 비율이 꽤 높다고 들었습니다. - '각의 이등분선의 성질'을 몰라서 틀렸는가?

 

이것은 확인할 길이 없습니다.   아마도 학생을 직접 가르치는 분들이 확인할 내용일 것입니다.  나는 짐작할 수밖에 없는데, 아마도 당연히 '아닐 것'이라고 짐작은 합니다.   '각의 이등분선의 성질'은 알고는 있다.  그런데 틀렸다.  심지어 나는 '각의 이등분선의 성질'을 이용할 생각을 했음에도 틀린 경우가 꽤 될 것이다.  이렇게 '짐작'은 합니다.    아무튼 이것은 내 짐작일 뿐이고,  이런 '학생들의 상태'에 대한 내 짐작은, 과거에 '강의를 할 때'도 '틀린 짐작'인 경우도 많았기 때문에 이것은 당연히 아니다라고 주장할 생각은 없습니다.

 

이런 '팩트 체크'를 하는 것이 무슨 의미가 있는가?  이 문제를 '분석'해서 '앞으로 나올 문제의 경향', 그리고 그 문제를 '대비'해야 한다면 이 '팩트 체크'는 꽤 중요합니다.   사실 '출제의도'의 분석이라는 것은 일반적으로 이런 의미에서 중요한 것입니다.   시험을 보는 상황에서, '좁은 의미의 출제의도'를 읽어내는 힘을 기리는 것도 중요하지만,  '기출문제'의 출제의도를 '분석'하는 것을 통하여 '앞으로 나올 문제를 어떻게 대비할 것인가'의 방향과 원칙 등을 결정하는 것입니다.

 

어떤 사람은 이 문제를 보고, '알아야 할 지식'으로 '각의 이등분선의 성질'  ( 또는 심지어 할선정리, 뭐 이런 것까지 )이 중요하다.   이렇게 '추가'할 것입니다.  ( 내가 아는 범위에서 사실,  이런 추가는 해가 거듭될 수록 계속되어 왔습니다.   그래서 '기출문제'를 소재로 공부를 한다는 것이, 기출문제가 쌓이면 쌓일수록, 감당해야 할 '지식의 양'이 갈수록 늘어가는, 그러니 '필연적으로' 오래된 기출문제는 '무시'하게 되는, 그런 경향을 만들어내고 있습니다.  )

 

어떤 사람은 이 문제를 보고, '알아야 할 지식'으로 여전히 '교과서의 기본적인 정의, 성질'만을 알면 '충분'하고, 오히려 그것이 더 효율적이고, 안정적이며, 중요한 것은 '그 내용'을 문제를 해결하는데 '적용하는 방법' - 어렵게 이야기하면 '행동영역' - 이다.  이렇게 '강조'할 것입니다.

 

같은 문제를 '소재로' 전혀 다른 '진단'을 할 것입니다.    나는 개인적으로, 금년 '수능'에서, '각의 이등분선의 성질'이 유용한 - 이 문제는 각의 이등분선의 성질을 이용해서 해결하는 것도 가능은 하지만 - 문제가 출제될 확률은 코로나로 인하여 수능이 제대로 치루어지지 못할 확률보다 '작다'고 확신은 합니다.
전체 2

  • 2020-06-24 20:39
    이 문제를 풀어봤는데 , 아무래도 중학교 교사다 보니 제일 먼저 보인 것은 원주각이었습니다. 그걸 보고 풀어보니 문제에서 묻는 것은 알고보면 삼각형 B_1B_2D_1 넓이를 구하고 닮음비만 찾으면 되겠구나 해서 문제를 풀었습니다. 원주각의 중심각이 바로 60도니까 나름 깔끔하게 풀리는 것 같은데...

    근데 아무래도 제가 중학교에 있어서 고등학교 때 배우는 성질을 많이 잊어 먹은 것 같은데.. 뭐 사인 법칙 이런걸로 풀리는 것인지...?? (찾아봐야겠지만..) 아무튼 등산에서 정확한 출제의도를 알려주시면 감사하겠습니다. 제가 파악한 것은 원주각이 전부입니다.

    p.s 교과서보다는 참고서, 문제집이 기준이 되는 것이 현실이기 때문에 각의 이등분선의 성질을 공부하는 것은 어쩔 수 없다고 생각합니다. 실제로 중학교 문제집에서는 각의 이등분선 성질, 외각의 이등분선의 성질들을 이용한 문제가 많이 있기 때문에 교사들도 각의 이등분선을 별표치면서 외우라고 가르치는 것도 현실입니다.. 제가 재작년에 나름 고발한 것인데 교사용 지도서에서 조차도 "적어도 하면 여사건을 하면 유리하다" 이렇게 써있는 것이 현실이기에 선생님께서 가르치는 사람을 위한 공간을 만들어주시면 좋을 듯 합니다.
    무엇이 올바르고 무엇이 잘못된 것인지 분간하기 힘든 것이 사실이니까요.

  • 2020-10-23 02:43
    사실 배우는 사람 입장에서는 어떤 문제가 나오더라도 무슨 수단-여기서 수단은 이론, 경험에 의한 추측, 심지어 찍기까지 포함해서-을 사용해서라도 '정답'을 맞히는 것이 중요하다고 생각을 합니다. 문제는 그러려면 '어떻게' '어디까지' 배워야 하는지가 중요할텐데 이 점에서 가르치는 사람이 참 중요하다고 생각해요. 그 방식에 대해서는 크게 두가지로 나뉠 텐데, 하나가 '어디까지'에 해당하는 이론 범위고 '어떻게'에 해당하는 풀이법-혹은 접근법과 해석-이라고 배워가며 느꼈습니다.

    사실 근데 생각하는 사람들이 공부라고 하면 그저 '이론을 익혀서 문제를 푼다' 수준에서 머무는 경우가 많고 가르치는 사람들도 그정도에서 벗어나지 못하는 경우를 많이 봤어요. 사실 정말로 수학을 좋아하는 사람이라면 말씀하신 '교과서에 없는' 이론까지 익혀서 말씀하신 방향으로 풀수도 있을거에요. 왜냐하면 그 사람은 '문제해결'이 주요 목적이기 때문에 '출제의도'를 벗어난 풀이도 본인의 유희를 위해 해볼 수 있을 테니까요.

    하지만 그것이 '시험'을 대비하는 '수험생'이라면... 이 '범위'와 '접근법'은 확실히 '최소화' 되어야 되고 그 기준은 '교과서'일텐데... 이게 학교나 학원가에서도 명확히 언급이 안되는게 아쉬워요. 기본적으로 '알아서 쓸 데가 있다면 우선 알아놓고 보는 게 이득이다'라는 마인드로 접근해서 그런 것 같기도 하더라고요.